VI°/ Les multiplications et les divisions:
A°/ Les très grosses multiplications : La multiplication Grecque ou Italienne
B°/ Les très grosses divisions :
C°/ La méthode mentale du rectangle :
D°/ Trouver le dernier chiffre d’un quotient :
E°/ Méthode manuelle pour effectuer les multiplications :
F°/ Différentes méthodes de multiplication :
F-1°/ Multiplication babylonienne (Somme de carrés en Mésopotamie)
F-2°/ Multiplication égyptienne :
F-3°/ Multiplication Russe :
F-4°/ La multiplication per Gelosia Grecque ou Italienne :
F-5°/ Méthode des lignes :
F-6°/ Méthode des cercles :
G°/ Multiplication de 2 nombres proches de 100 :
H°/ Tables de multiplication façon modulo :
A°/ Les très grosses multiplications : La multiplication Grecque ou Italienne
A l'aide d'une machine à calculer, si l'on effectue la multiplication de 987 654 × 745 321, la machine nous donnera le résultat suivant :
7,36119 × 1011, c'est-à-dire approximativement 736 119 000 000.
Comment trouver les six derniers chiffres exactement ?
Pour comprendre comment utiliser une calculatrice, qui ne sait multiplier que des nombres de trois chiffres (par exemple), pour faire des multiplications de nombres composés de nombreux chiffres, il suffit de se rappeler comment on fait soi-même des multiplications de plusieurs chiffres alors qu'on ne sait que la table des produits de un chiffre. Ainsi, pour effectuer la multiplication de 57 × 46, on utilise la technique écrite suivante :
Cette merveilleuse technique nommée aussi italienne ou grecque qui nous vient d'Orient est utilisée au XVème siècle par le mathématicien arabe Al kasi, . Mais on la trouve beaucoup plus tôt chez les arabes aux alentours du XIIIe siècle (multiplication par le quadrillage ou par le tableau). Elle serait aussi dans un ouvrage de Fibonacci de 1202.
A la fin du Moyen-Age la technique fut surnommée "per gelosia".
Ce nom fait allusion à la pièce en bois qui équipait certaines "fenêtres à jalousie" en Italie chez les maris jaloux. Ils voulaient bien que leur femme regarde ce qui se passe dans la rue, sans que les hommes qui s'y trouvaient puissent les voir.
Cette technique a fini par donner notre algorithme de multiplication.
Il faut écrire le multiplicande en haut et horizontalement, et le multiplicateur à droite et verticalement.
Pour les petites multiplications, on multiplie les chiffres des unités que l’on note dans la case supérieure à droite, la dizaine dans la partie supérieure de cette case, les unités dans la partie inférieure (la case est divisée en 2 par la diagonale). Et ainsi de suite.
Pour les grosses multiplications, le principe est le même, mais on multiplie par classe de 3 chiffres. Voir le tableau Excel ci-dessous.
Pour le résultat final, on ajoute en DIAGONALE en tenant compte des retenues additives, les résultats obtenus dans les cases et ceci de droite à gauche.
Fichier Excel : grosses multiplications.
B°/ Les très grosses divisions :
Fichier Excel : grosses divisions.
C°/ La méthode mentale du rectangle :
Voici une méthode qui va nous permettre de simplifier la plupart des multiplications de 2 nombres.
Soit la multiplication de A par B. Le but du jeu est de trouver un nombre R, proche de A et B, et qui de plus soit simple a
multiplier comme un multiple de 10 par exemple. Ainsi :
A × B = ( R + a ) × ( R + b ) = R² + Rb + aR + ab = R × ( R + a + b ) + ab
L’astuce est de placer les 4 nombres sur un rectangle. Le produit de A par B devient donc la somme du produit de R ( qui est simple à multiplier ), par R + a + b ( qui l’est un peu moins s’est vrai ) et de ab.
D°/ Trouver le dernier chiffre d’un quotient :
Si le diviseur d’une division se termine par 1, 3, 7 ou 9, on peut trouver facilement le dernier chiffre du quotient.
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Le diviseur se termine par |
Le quotient se termine par |
Exemple |
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1 |
L’unité du dividende. |
1054/31 =34 |
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3 |
Un multiple de 3 qui se termine par l’unité du dividende. |
782/23 = 34 le seul multiple de 3 se terminant par 2 est 12 = 3 × 4 |
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7 |
Un multiple de 7 qui se termine par l’unité du dividende. |
901/17 = 53 le seul multiple de 7 se terminant par 1 est 21 = 7 × 3 |
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9 |
Le nombre 10 ôté de l’unité du dividende. |
986/29 = 34 10 – 6 = 4 |
E°/ Méthode manuelle pour effectuer les multiplications :
Il existe un truc infaillible pour trouver les produits de nombres strictement plus grands que 5, quand on connaît ses tables jusqu'à 5.
Il suffit de jouer avec ses doigts.
Les doigts sont numérotés de 6 à 10 à partir du pouce sur chaque main.
On fait se toucher les deux doigts correspondant aux nombres désirés.
Le nombre de doigts qui se touchent ajouté à ceux qui sont en-dessous donne des dizaines.
Le nombre de doigts du dessus à gauche multiplié par le nombre de doigts du dessus à droite, donne des unités.On ajoute alors toutes les unités obtenues.
Compliqué ? Non, regardons bien ci-dessous.
F°/ Différentes méthodes de multiplication :
F-1°/ Multiplication babylonienne (Somme de carrés en Mésopotamie):
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Près de l'Euphrate, sur le site de Nippour, proche de l'ancienne Babylone on a trouvé un grand nombre de temples datant d'environ 3000 ans avant notre ère. Sur des tablettes d'environ 1000 ans avant notre ère, on a observé une curieuse procédure pour effectuer des multiplications. Cette technique de multiplication des entiers nécessitait uniquement de savoir faire des additions et peut-être des soustractions. Le scribe calculateur devait aussi disposer d'une table de carrés. La multiplication se ramenait à une addition de carrés. Pas très rapide ni très pratique... ce procédé repose sur le fait que tout nombre entier peut se décomposer en somme de carrés. |
Par exemple :
25 x 20 = (20 + 5) x 20 = 20 x 20 + 5 x 20 = 20² + 5 x 5 x 4 = 20² + 4 x 5² = 400 + 4 x 25 = 500
36 x 28 = (28 + 8) x 28 = 28² + 8 x (3 x 8 + 4) = 28² + 3 x 8² + 2 x 4² = 844 + 3 x 64 + 2 x 16 = 1 008
F-2°/ Multiplication égyptienne :
Bien sûr cette multiplication des commerçants du Nil marche toujours ! Elle a l'énorme avantage de n'utiliser que la table de deux.
Pour faire 458 × 25, on effectue toutes les multiplications du multiplicande M = 458 par tous les multiples m de 2, de 20 à 2n. Il suffit de doubler les résultats à partir de la multiplication par 1, ce qui est simple.
Ensuite on cherche une somme qui donne le multiplicateur m = 25 en additionnant les multiplicateurs p de 458. En lisant Mod(M/2) en partant d’en bas, on obtient l’écriture binaire de m (25 s’écrit 11001 en binaire).
C’est long mais il ne faut maitriser que la table de 2 et l’addition. L'explication tient dans la possibilité de décomposer un nombre en somme de puissances de 2.
Voici un fichier Excel pour manipuler : Multiplication égyptienne.
Cette multiplication a l'énorme avantage de n'utiliser que la table de deux. Elle très semblable à la Multiplication égyptienne.
Pour passer d'une ligne à la suivante on double le multiplicande M et divise le multiplicateur m par 2 en arrondissant à l’entier inférieur jusqu’à 1.
Tout irait parfaitement bien si les nombres étaient tous pairs...
On ajoute donc les produits de M qui sont multipliés par un m impair pour rattraper les pertes dues aux multiplications par des nombres impairs.
Plaçons 1 en face des lignes correspondant à une multiplication par un nombre impair et 0 devant les autres. Si maintenant nous relisons de bas en haut les chiffres 1 et 0, nous obtenons l'écriture binaire du nombre 25 par lequel nous avons multiplié 458. En effet 25 s'écrit 111 en binaire.
C’est long mais il ne faut maitriser que la table de 2 et l’addition. L'explication tient dans la possibilité de décomposer un nombre en somme de puissances de 2.
Voici un fichier Excel pour manipuler : Multiplication Russe.
F-4°/ La multiplication per Gelosia Grecque ou Italienne :
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Cette merveilleuse technique nommée aussi italienne ou grecque qui nous vient d'Orient est utilisée au XVème siècle par le mathématicien arabe Al kasi, . Mais on la trouve beaucoup plus tôt chez les arabes aux alentours du XIIIe siècle (multiplication par le quadrillage ou par le tableau). Elle serait aussi dans un ouvrage de Fibonacci de 1202. A la fin du Moyen-Age la technique fut surnommée "per gelosia". Ce nom fait allusion à la pièce en bois qui équipait certaines "fenêtres à jalousie" en Italie chez les maris jaloux. Ils voulaient bien que leur femme regarde ce qui se passe dans la rue, sans que les hommes qui s'y trouvaient puissent les voir. Cette technique a fini par donner notre algorithme de multiplication. Il faut écrire le multiplicande en haut et horizontalement, et le multiplicateur à droite et verticalement. Pour les petites multiplications, on multiplie les chiffres des unités que l’on note dans la case supérieure à droite, la dizaine dans la partie supérieure de cette case, les unités dans la partie inférieure (la case est divisée en 2 par la diagonale). Et ainsi de suite. Voir l’animation « Multiplication Grecque ». Pour les grosses multiplications, le principe est le même, mais on multiplie par classe de 3 chiffres. Voir le tableau excel ci-dessous. Pour le résultat final, on ajoute en DIAGONALE en tenant compte des retenues additives, les résultats obtenus dans les cases et ceci de droite à gauche. |
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Cette technique amusante ne fait apparemment intervenir aucune table de multiplication. On trace horizontalement et verticalement le nombre de lignes ou de colonnes correspondant au chiffre indiqué en haut ou à droite. Ensuite comme pour la technique à la grecque, il suffit de compter les points en diagonale. Les retenues éventuelles sont reportées sur la diagonale de gauche. En comptant le nombre de croix d'un rectangle de n lignes sur m colonnes, on redéfinit tout simplement la multiplication n x m. |
Même méthode que celle avec les traits, mais avec des cercles !!
G°/ Multiplication de 2 nombres proches de 100 :
Explications :
1ier nombre = 100 - a
2ième nombre = 100 - b
(100 - a) × (100 - b) = 10 000 - 100b - 100a + ab
= 10 000 - 100(a + b) + ab
= 100[100 - (a + b)] +ab
Vérification :
97 × 96 = 9 312
(100 - 3) × (100 - 4) = 100[100 - (3+4)] + 3 × 4
= 100 × 93 + 12
= 9 312
H°/ Tables de multiplication façon modulo :
Je vais vous expliquer les tables de multiplication d'une façon tout à fait différente.
Il s'agit de visualiser les tables à l'aide de segments dans un cercle.
L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par un nombre.
Par exemple, s’il est 16h52 et que j’attends 15 minutes, il sera 17h07, autrement dit 52+15=7 dans l’arithmétique à base 60 des minutes.
Ce que nous en écrivons, en mathématiques : 52 + 15 ≡ 7 (mod. 60) autrement dit dans 67/60 il reste 7. En effet : 67/60 = 1 et il reste bien 7.
et que nous lisons : « 52 plus 15 est congru à 7 modulo 60 ».
Pourquoi congru ? En latin, congruens signifie « qui s'accorde ».
Pourquoi modulo ? Il s’agit de l'ablatif du nom latin modulus, qui signifie « mesure ».
On peut visualiser les table de multiplication en utilisant le modulo des nombres.
Voici une explication détaillée : Cliquez sur l'image pour lancer la vidéo ou le programme.
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Superbe vidéo de Mickaël Launay |
Programme Scratch qui explique tout. |
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