III°/ De Pythagore à Einstein :
Intéressons-nous à la durée de parcours d’un éclair lumineux envoyé sur un miroir et revenant à son point de départ.
Nous admettrons, comme principe de base, que la lumière se déplace dans le vide à la vitesse de 300 000 km/sec. Cette vitesse notée C, est une constante de l’univers, établit grâce à la théorie de la relativité.
Quelle sera la durée de l’aller-retour ?
Si le miroir et l’observateur sont immobiles l’un par rapport à l’autre, les deux événements, émission et retour de l’éclair, ont lieu au même endroit, et sont repérés par une même horloge. La durée t du temps écoulé entre les deux événements est :
t = 2D/C D = Distance miroir-observateur d’où : D = (tC)/2
Si en revanche, l’observateur se déplace avec une vitesse v par rapport à l’espace dans lequel se situe le miroir et l’horloge qui sont immobiles, le trajet suivi par la lumière tiendra compte de ce déplacement. Notons 2D’ sa longueur. La durée du parcours sera donc t’ :
t’ = 2D’/C
La distance entre les deux horloges situées l’un au point d’émission et l’autre au point de réception, est égale à vt’. Le théorème de Pythagore nous permet d’écrire :
D’² = D² + (vt’/2)²
D’² = D² + v²t
d’où : t’² = (2D’/C)² = 4D’²/C² = 4D²/C² + v²t’²/C²
donc : t’² - v²t’²/C² = 4t²C²/4C²
t’² = t²/(1 - v²/C²)
t’ = t(1 - v²/C²)1/2
Remarque : Quand v est très petit devant C, (v²/C²) tend vers 0, et t’ = t
Cette formule est célèbre, mais l’important est d’en comprendre la signification. Un même événement a une durée différente selon que celui qui la mesure est au repos ou en mouvement par rapport à lui. Dans le premier cas, la durée correspond à ce que l’on appelle le temps propre t, dans le second un temps impropre t’ qui sera toujours plus grand.
Par exemple, si je vais de Lille à Marseille en avion, les horloges des deux aéroports sont en mouvement par rapport à l’avion, elles mesurent le temps impropre, alors que ma montre est fixe dans le référentiel qu’est l’avion, elle mesurera donc le temps propre. La différence est pourtant bien faible. Même avec le concorde volant à 2000 km/h sur les 1000 km de parcours, on obtient t = 30 min et t’ = 30,000 000 000 06 min. On comprendra qu’une telle différence est insignifiante et invisible dans la vie courante. Cependant, pour des objets se déplaçant à des vitesses proches de la lumière, comme des objets célestes, seule la conception du temps proposé par Einstein permet de rendre compte de la réalité.
