XIX°/ Les triangles mystérieux : 64 = 65 = 66 = 67
C’est Sam Loyd qui, au début du siècle, démontre que 64 = 65 ( et donc par soustraction que 0 = 1 ? ).
Jean Brette a développé cette idée pour le compte des Editions Kangourou, sur des rectangles de 17 par 12.
Regardons ce qui se passe avec 2 triangles rectangles. Si les hypoténuses ne sont pas alignées, les aires sont différentes si l’on intervertit les triangles.
Cette différence est l’aire du parallélogramme rouge, qui est facile à calculer :
Le rectangle d’Harry Langman :
Voilà la solution :
Regardons bien la figure : les points P et N ne sont pas confondus contrairement à ce que l'on semble penser dans la figure reconstituée. La figure C est en fait le polygone limité par PR et non NR. De même la figure A est limitée par MP et non MN. La figure B elle est limitée par QR et D par MQ qui passe par N.
Nous avons donc un trou constitué du polygone MPRQN dont l'aire est exactement égale à une unité. Comme cette unité est dispersée en longueur elle est bien sûr quasiment invisible.
On peut aussi expliquer le résultat en observant que les points M, P et R ne sont pas alignés. C'était donc une erreur de reconstitution. C'est difficile à voir (déplacez la droite ci-dessus), car en fait les segments MP et QR sont parallèles mais pas avec PQ... d'où un résultat aberrant.
Nous retrouvons une fois de plus, les nombres 5, 8, 13, 21 qui font partie de la suite de Fibonacci. Si nous choisissons deux nombres consécutifs de la suite pour longueur et largeur d'un rectangle et ceux qui l'encadrent pour l'autre rectangle nous obtenons alternativement un gain ou une perte de 1 unité.
Ces gains et pertes se traduisent par la formation ou le chevauchement d'un léger espace vide d'autant plus petit que les nombres seront grands.
Le puzzle magique : Le triangle de Gardner
L'inventeur du beau paradoxe qui suit est Paul Curry, magicien amateur de New York. En 1953 il eut l'idée de découper une figure et d'en réarranger les morceaux de telle manière que la nouvelle figure soit identique à l'originale, mais avec un trou à l'intérieur de son périmètre.
|
Un triangle rectangle avec un trou de 1 unité. |
|
 |
 |
|
Un triangle isocèle avec un trou de 2 unités. |
|
 |
 |
Le paradoxe de Curry :
Nous découpons le grand rectangle en 5 morceaux.
Et nous observons un trou d'une unité à droite...
Les variantes les plus élégantes du paradoxe de Curry sont des carrés qui restent des carrés après le réarrangement des morceaux produisant le trou. En voici quelques unes.
|
Avec un trou de 2 unités dans un carré de 11 sur 11. |
|
 |
 |
|
Avec un trou de 1 unité dans un carré de 7 sur 7. |
|
 |
 |
