XV°/ Les puissances :
A°/ Le calcul de Saint-Exupéry :
B°/ La multiplication des baisers :
C°/ Des grains de riz sur un échiquier :
D°/ La propagation des rumeurs :
A°/ Le calcul de Saint-Exupéry :
Voici un extrait du petit prince de Saint-Exupéry (1951).
Les hommes occupent très peu de place sur la terre. Si les deux milliards d'habitants qui peuplent la terre se tenaient debout et un peu serrés, comme pour un meeting, ils logeraient aisément sur une place publique de vingt milles de long sur vingt milles de large. On pourrait entasser l'humanité sur le moindre petit îlot du pacifique.
Les grandes personnes, bien sûr, ne vous croiront pas. Elles s'imaginent tenir beaucoup de place. Elles se voient importantes comme des baobabs. Vous leur conseillerez que donc de faire le calcul. Elles adorent les chiffres : ça leur plaira. Mais ne perdez pas de temps à ce pensum. C'est inutile. Vous avez confiance en moi.
Les mathématiciens aiment bien Saint-Exupéry, mais le résultat d'un calcul n'est pas une question de confiance, tout le monde peut se tromper. Vérifions le calcul de Saint-Exupéry, sachant que le mille romain vaut 1 482 m ( le mille Anglo-Saxons valant 1 609,3 m) :
Considérons que l'on peut faire tenir quatre hommes sur un mètre carré.
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Largeur du carré L |
1 m |
10 m |
1 mille =1 482 m |
20 milles = 29 640 m |
22 360.67 m = 15 milles |
8 729,8 m = 38,7 km |
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Surface |
1 m² |
100 m² |
1 mille² = 2 196 324 m² |
400 milles² = 878 529 600 m² = 878,5296 km² |
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499 997 408 m² = 1 500 km² |
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Personnes P |
4 hommes |
400 hommes |
8 785 296 hommes |
3 514 118 400 hommes |
2 milliards hommes |
6 milliards hommes |
Formule générale pour avoir la largeur du carré : L =
Reprenons la question précédente, mais en parlant de volume cette fois.
Considérons qu'un individu peut se glisser dans un parallélépipède rectangle de volume :
1,70 m × 0,40 m × 0,15 m soit 0,102 m3,
Donc dans un mètre cube on peut caser 10,2 hommes, c’est à dire pratiquement dix hommes (ou dix femmes).
Dans un cube de un kilomètre de côté, on pourrait donc caser, serrés comme des sardines en boîte, 10 milliards d'êtres humains.
1 km × 1km × 1km = 1 km3 = 1000 m × 1000 m × 1000 m = 109 m3
B°/ La multiplication des baisers :
Un baiser abrège la vie humaine de 3 minutes, affirme le Département de Psychologie du Western State College, Gunnison (Colorado). En effet, le baiser provoque de telles palpitations, que le cœur travaille en 4 secondes plus qu'en 3 minutes. Les statistiques prouvent que 480 baisers raccourcissent la vie d'un jour, que 3 360 baisers vous privent d'une semaine et que 175 320 baisers, c'est tout simplement une année de perdue.
Poème de Paul Morand ( USA 1927 )
24 h = 24 × 60 min = 1 440 min → 1440 / 3 = 480 baisers
1 semaine = 7 j → 480 × 7 = 3 360 baisers
1 année = 365,25 jours → 480 × 365,25 = 175 320 baisers
C°/ Des grains de riz sur un échiquier :
Il était une fois un empereur Persan, Charma, qui voulait récompenser l'un de ses sujets, Seta, pour son invention merveilleuse : le jeu d'échecs.
"Comment veux-tu être récompensé ?", lui demanda Charma.
"Donne-moi un grain de riz pour la première case de mon échiquier, répond dit Seta, deux grains pour la deuxième case, quatre grains pour la troisième case, huit pour la quatrième case, le double encore pour la cinquième, et ainsi de suite : double ma récompense pour chaque case, jusqu'à la 64ème. Ma récompense sera le nombre de grains de la 64ème case."
"Accordé !", dit Charma.
Imprudente promesse ! Le savant mathématicien attaché à la Cour eut tôt fait de démontrer à l'empereur que jamais la terre ne pourrait produire assez de riz pour qu'il tienne son engagement.
Le calcul du nombre de grains de riz sur la dernière case de l'échiquier est assez facile à obtenir en utilisant les puissances.
Il y a donc environ 263 = 9 × 1018 grains de riz sur la dernière case de l'échiquier, soit un nombre écrit avec un 9 suivis de 18 zéros : C’est-à-dire 9 milliards de milliards de grains de riz.
En 1997 la production mondiale de riz était de 573,2 millions de tonnes.
Sachant qu'un grain de riz pèse à peu près10 mg ( cad 10-5 kg), les 9 milliards de milliards de grains de riz représentent :
9,2 × 1018 × 10-5 = 9,2 × 1013 kg = 9,2 × 1010 tonnes cad 92 milliards de tonnes, ce qui représente 160 fois la production de 1997 !!!
D°/ La propagation des rumeurs :
Dans un petit village du sud de la France, le premier jour de l'année, trois personnes découvrent un terrible secret. Ne pouvant garder ce secret pour eux seul, le lendemain chacune des trois personnes le dévoilent à trois autres. Le lendemain les 9 personnes qui connaissent maintenant ce terrible secret, l'annoncent elles aussi à trois autres personnes, et ainsi de suite les jours suivants.
La question est de savoir au bout de combien de temps les 500 personnes du village seront au courant ou alors de savoir combien de personnes connaîtront le secret au bout d'un mois de 31 jours.
Le nombre de personne P connaissant le secret, en fonction du nombre de jour J, est donné par la formule :
P = 3J→ Ln P = J × Ln 3 → J =
P = 500 personnes → J = = 5,657 jours
J = 31 jours → P = 331 = 6,18 × 1014 personnes = 617 673 milliards de personnes
Pour que les 6 milliards d’êtres humains de la terre entière soient prévenus, il faudra :
P = 6 × 109 personnes → 
Le calcul des intérêts peut donner le vertige suivant la méthode utilisée pour gérer ses intérêts. Deux solutions s'offrent à nous, soit l'on récupère chaque année les intérêts produits par le capital placé, soit on les laisse et les intérêts qui s'ajoutent donc au capital de départ et génèrent eux aussi leurs propres intérêts.
Soit P le placement de départ, à un intérêt I % par an, et durant une période A années. Soit S la somme finale obtenue ( capital et intérêts ).
1 kg d’or vaut 10 000 € et la terre a une masse de 5,96 × 1024 kg
Notons que si la mise de départ avait été de 10 euro, toutes les sommes finales seraient multipliées par 10, et pour un intérêt I de 3,5% sur 2002 ans, on arriverait à une masse d’or égale à 136,5 fois la Terre.
Dans les années 40, Edward Kasner (USA) publie un livre « Mathematics and the Imagination » dans lequel apparaît le mot Googol (Gogol en Français). Ce mot ne serait pas inventé par Kasner mais il l’aurait repris de son neveu âgé à l’époque de 9 ans.
Il serait impossible, dans le système décimal, d'écrire ce nombre sur du papier car il contient plus de chiffres qu'il y a d'atomes dans l'univers visible.
L'inverse du gogolplex, nombre positif extrêmement petit, est appelé gogolminex. C’est ce nombre Googol qui est à l’origine du nom du moteur de recherche Google.
Le Gogol est un 1 suivi de 100 zéros. Mais existe aussi le Gogolplex qui est un 1 suivi de Gogol zéros.
Gogol = 10100
Gogolplex = 
Mais bien sur ce n'est pas suffisant. En 1976, un mathématicien américain, Donald Knuth, a inventé une autre forme de calcul pour pouvoir écrire de plus grand nombre : la notation des puissances itérées de Knuth.
Addition : 2 + 3 = 5
Additions répétitives → multiplication : 5 + 5 + 5 = 5 x 3 = 15
Multiplications répétitives → Puissances : 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 55 = 3 125
Puissances répétitives → Puissances itérées de Knuth : 5 ↑ 5 = 55 = 3 125
. 5 ↑↑ 5 = 5 ↑ 5 ↑ 5 = 
= 53125 ce nombre est déjà incalculable pour une machine
. à calculer normale.
. 5 ↑↑↑ 5 = 5 ↑↑ 5 ↑↑ 5 etc....
Allez, comme c'est rigolo c'est continue. Le plus grand nombre utilisé dans une démonstration s'appelle le nombre de Graham. Le voici :
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A chaque ligne il y a autant de flèche que le nombre précédent. Le nombre de Graham sera celui de la 64ième ligne. |
