XIV°/ Ecrire un décimal ayant des décimales répétitives sous forme fractionnaire :
Soit : a = 0,42424242424242…
Alors : 100 × a = 42,4242424242… = 42 + a ↔ 99a = 42
↔ a = 42 / 99
Soit : b = 0,335335335335335…
Alors : 1 000 × b = 335,335335335335335…= 335 + b ↔ 999 × b = 335
↔ b = 335/ 999
Attention cependant, cette méthode est loin d'être correcte et elle ne fonctionne que pour certain cas.
En effet :
Soit : c = 0,999999999999…
Alors : 100 × c = 0,999999999999… = 99+ c ↔ 99c = 99
↔ c = 99/ 99 = 1 ≠ 0,999999999999…
On peut dire que la limite de 0,999999999999… tend vers 1 mais pas plus.
Ou encore :
Soit : d = 0,1789178917891789…
Alors : 1 000 × d = 1 789,1789178917891789…= 1 789 + d ↔ 999 × d = 1 789
↔ d = 1789 / 999 = 1.790790.......
En fait-il faut considérer que le nombre de départ X a un nombre défini de décimales. Donc en faisant 10X on "décale" la virgule de un chiffre vers la droite. On perd donc une décimale.
Or en faisant 9+X on "remplace" le 0 par un 9. On a donc le même nombre de décimales.
Conclusion: 10 × X est différent de 9 + X !!!!!!
