XIII°/ Critères de divisibilité :
Les critères de divisibilités permettent de savoir si un nombre est divisible par un autre.
Pour la compréhension de la suite nous rappellerons que tout nombre A peut s’écrire : A = 10d + u avec : d = nombre de dizaines et u = chiffre des unités
Attention : Ne pas confondre chiffre et nombre !!!!
Exemple : 1587 = 158 × 10 + 7 Dans 1587 il y a 158 dizaines et le chiffre des unité est 7. Dons d = 158 et u = 7.
Les critères sont ranger par utilité pratique et non par ordre croissant.
Un nombre est pair, c'est-à-dire divisible par 2, si et seulement si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Démonstration : soit A = 10d+ u
10d est toujours multiple de 2 puisque 10 est lui même un multiple de 2.
A est multiple de 2 si et seulement si u est multiple de 2, c'est dire que le chiffre des unités u est pair.
A = 10d + U = 10d + 2k = 2(5d + k)
Un nombre est divisible par 5, si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Démonstration : soit A = 10d + u
10d est toujours multiple de 5 puisque 10 est lui même un multiple de 5.
A est multiple de 5 si et seulement si u est multiple de 5, c'est dire que le chiffre des unités u est multiple de 5.
A = 10d + U = 10d + 5k = 5(2d + k)
Un nombre est divisible par 5, si et seulement si la somme des chiffres du nombre est multiple de 3.
Démonstration : En Si A = 10d + u est un multiple de 3 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 3 × 3k = 9k avec k un nombre entier.
Calculons : A – 9d = 9k – 9d = 9( k – d ) Donc A – 3d sera aussi un multiple de 3
De plus : A – 9d = 10d + u – 9d = d + u
Donc : A – 9d = d + u = 9( k – d ) Donc A est un multiple de 3, si et seulement si d + u est aussi un multiple de 3.
Exemple : 4275 → 427 + 5 = 432 → 43 + 2 = 45 → 4 + 5 = 9 → 4275 et 9 sont multiples de 3
Plus simplement : A = u + 10b + 100c + 1000m …
Si A est un multiple de 3 alors A – 9b – 99c – 999m – … = u + b + c + m + … l’est aussi.
4275 → 4 + 2 + 7 + 5 = 18
Un nombre est divisible par 5, si et seulement si son chiffre des unités est 0.
Démonstration : soit A = 10d + u
10d est toujours multiple 10.
A est multiple de 10 si et seulement si u est multiple de 10, c'est dire que le chiffre des unités u est multiple de 10.
A = 10d + U = 10d + 10k = 10(d + k)
Un nombre est divisible par 4, si et seulement si le nombre composé par les 2 derniers chiffres du nombre est multiple de 4.
Démonstration : soit A = 100c + 10D + u
Avec: c = Nombre de centaine
D = Chiffre des dizaines
u = Chiffre des unités
100c est toujours multiple de 4 puisqu’il se termine par 2 zéros.
A est multiple de 4 si et seulement si (10D +u) est multiple de 4, c'est dire que le nombre composé par les 2 derniers chiffres du nombre est multiple de 4.
Exemple : 112 557 484 = 112 557 400 + 84 = 4 × 28 139 350 + 4 × 21 = 4(28 139 350 + 21) donc 112 557 484 est bien divisible par 4, et 84 = 4 ×21.
Il faut que la somme des chiffres du nombre soit multiple de 3.
Démonstration : Même démonstration que pour 3.
En Si A = 10d + u est un multiple de 9 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 9k avec k un nombre entier.
Calculons : A – 9d = 9k – 9d = 9( k – d ) Donc A – 3d sera aussi un multiple de 3
De plus : A – 9d = 10d + u – 9d = d + u
Donc : A – 9d = d + u = 9( k – d ) Donc A est un multiple de , si et seulement si d + u est aussi un multiple de 9.
Exemple : 4275 → 427 + 5 = 432 → 43 + 2 = 45 → 4 + 5 = 9 → 4275 et 9 sont multiples de 3
Plus simplement : A = u + 10b + 100c + 1000m …
Si A est un multiple de 3 alors A – 9b – 99c – 999m – … = u + b + c + m + … l’est aussi.
4275 → 4 + 2 + 7 + 5 = 18
A est multiple de 7 si et seulement si le nombre constitué par le nombre de départ auquel on a enlevé le dernier chiffre moins 2 fois l'unité, est multiple de 7.
Oui ce n'est pas simple. Traduisons en langage Mathématiques. Soit A = 10d + u il est divisible par 7 si et seulement si d - 2u est multiple de 7.
Démonstration : Si A = 100c + 10d + u est un multiple de 7 alors il peut s’écrire : A = 100c + 10d + u = 7k avec k un nombre entier.
Calculons : A = 100c + 10d + u = 100c + 10d - 20u + 21u = 10(10c + d - 2u) +21u
21u est toujours multiple de 7 puisque 21 est lui même un multiple de 7.
A est multiple de 7 si et seulement si (10c + d - 2u) est multiple de 7 car 10 ne peut pas l'être, c'est dire que le nombre constitué par le nombre de départ auquel on a enlevé le dernier chiffre moins 2 fois l'unité, est multiple de 7.
Exemple : 3192 → 319 – 2 × 2 = 315 → 31 – 5 × 2 = 21 → 2 – 1 × 2 = 0 → 0 et 3192 sont multiples de 7
Un nombre A est un multiple de 8, si et seulement si le nombre formé par les 3 derniers chiffres de A est aussi un multiple de 8.
Démonstration : Même démonstration que pour 4.
Un nombre A est un multiple de 11, si et seulement si d – u est aussi un multiple de 11.
Démonstration : Si A = 10d + u est un multiple de 11 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 11k avec k un nombre entier.
Donc 11d – A sera aussi un multiple de 11 car : 11d – A = 11d – 11k = 11( d – k )
De plus : 11d – A = 11d – (10d + u ) = 11d – 10d – u = d – u
Donc A est un multiple de 11, si et seulement si d – u est aussi un multiple de 11.
Exemple : 1 771 561 → 177 156 – 1 = 177155 → 17 715 – 5 = 17 710 → 1 771 – 0 = 1 771
→ 177 – 1 = 176 → 17 – 6 = 11 → 11 et 1 771 561 sont multiples de 11
Un nombre A est un multiple de 13, si et seulement si d – 9u est aussi un multiple de 13 ou que d + 4u est aussi un multiple de 13.
Démonstration :
1ére méthode :
Si A = 10d + u est un multiple de 13 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 13k avec k un nombre entier.
Donc 7d × 13 – 9A sera aussi un multiple de 7 car : 7d × 13 – 9A = 7d × 13 – 9 × 13k = 13( 7d – 9k )
De plus : 7d × 13 – 9A = 7d × 13 – 9(10d + u) = 91d – 90d – 9u = d – 9u
Donc A est un multiple de 13, si et seulement si d – 9u est aussi un multiple de 13.
Exemple : 1313 → 131 – 9 × 3 = 104 → 10 – 9 × 4 = – 26 → 26 et 1313 sont multiples de 13
2éme méthode :
Si A = 10d + u est un multiple de 13 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 13k avec k un nombre entier.
Donc 4A – 13d × 3 sera aussi un multiple de 7 car : 4A – 13d × 3 = 4 × 13k – 13d × 3 = 13( 4k – 3d )
De plus : 4A – 13d × 3 = 4(10d + u) – 13d × 3 = 40d + 4u – 39d = d + 4u
Donc A est un multiple de 13, si et seulement si d + 4u est aussi un multiple de 13.
Exemple : 1313 →131 + 4 × 3 = 143 → 14 + 4 × 3 = 26 → 26 et 1313 sont multiples de 13
Un nombre A est un multiple de 19, si et seulement si d + 2u est aussi un multiple de 19.
Démonstration : Si A = 10d + u est un multiple de 19 alors il peut s’écrire : A = 10d + u = 19k avec k un nombre entier.
Donc 2A – 19d sera aussi un multiple de 19 car : 2A – 19d = 2× 19k – 19d = 19( 2k – d )
De plus : 2A – 19d = 2(10d + u) – 19d = 20d + 2u – 19d = d + 2u
Donc A est un multiple de 19, si et seulement si d + 2u est aussi un multiple de 19.
Exemple : 106 856 → 10 685 + 2 × 6 = 10 697 → 1 069 + 2 × 7 = 1 083 → 108 + 2 × 3 = 114 → 11 + 2 × 4 = 19 → 19 et 106 856 sont multiples de 19.