XXX°/ Le nombre Pi :

XXX°/ Le nombre Pi : Un nombre célèbre et mystérieux.

1°/ Son utilité :

A°/ La géométrie :

Son utilité principale est de calculer la circonférence du cercle, l’aire du disque et le volume de la boule, mais aussi les ellipses.

Circonférence du cercle =	$2\pi R$
Aire du disque =	$\pi R^{2}$
Volume boule =	$\frac{4}{3}\times \pi R^{3}$

Une définition simple de $\pi$ est que ce nombre représente le périmètre d'un cercle de diamètre un.

$\LARGE Perimetre_{cercle}= 2\pi R = \pi \times D = \pi\times 1 = \pi$

B°/ La probabilité :

Au 18ième siècle, un grand mathématicien français du nom de George Buffon a réalisé l'expérience suivante. Il lance des aiguilles sur un parquet composés de lames rectangulaires. Si la longueur des aiguilles est égale à la largeur des lames de parquet, combien a t'on de chance qu'il y ai une aiguille qui se trouve à l'intersection de 2 lames et non à l'intérieur d'une lame ?

Il a démontrer que cette probabilité était de

$\LARGE \frac{2}{\pi}$

C°/ Les nombres premiers entre eux :

Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par 1 ou par lui-même. Par exemple :

12 n'est pas premier car 12 = 3 x 4

23 est premier car 23 = 1 x 23 et c'est tout.

Deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont pas de diviseur commun autre que 1, donc s'ils ne sont pas dans la même table de multiplication. Par exemple :

15 et 6 ne sont pas premiers entre eux car ils sont divisibles par 3.

15 et 4 sont premiers entre eux car ils ne sont divisibles que par 1.

Les mathématiciens se sont amusés a déterminer quelle proportion de couple de nombre était premiers entre eux (oui ils ont des jeux bizarre !!).

Cette proportion est de

$\LARGE \frac{6}{\pi^{2}}$

D°/ Les suites :

Si on ajoute tous les inverses des carrés on obtient un nombre qui sera égal à 1,644... qui représente le nombre

$\LARGE \frac{\pi^{2}}{6}$

$\LARGE \sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}...=\frac{\pi ^{2}}{6}$

2°/ Son écriture :

Sa grande particularité est qu'il possède un nombre infini de décimales. Il fait parti des nombres irrationnels qui ne peuvent donc pas s'écrire sous la forme d'une fraction de 2 nombres entiers.

Vers -230 av JC, Archimède est capable de donner le nombre $\pi$ au centième prés avec sa méthode des polygones inscrits et circonscrits au cercle. Un peu plus tard,en 1420 a Samarcande en Perse, Al Kashi est capable de calculer 14 décimales de $\pi$ .

Nous en connaissons à présent en 2 000 milliards fin 2016.

Voici les décimales de $\pi$ au cours des âges (Pour plus de détail)

Date

Mathématicien et lieu

Décimales

-2500

Grande pyramide de Gizeh (Égypte)

$\dfrac{22}{7} \approx 3,14$

-2000

Tablette Babylonienne découverte en 1936

$\dfrac{25}{8} \approx 3,125$

-1650

Le papyrus Rhind (Égypte)
Approximation du cercle par un octogone régulier.

$\left(\dfrac{16}{9}\right)^2 \approx 3,16$

-500

La Bible
I Roi 7:23 :Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées.

-400

Platon (Grèce) $\pi=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

3.15

-250

Archimède (Grèce)
Approximation du cercle par un polygone régulier à 96 côtés.

$\dfrac{223}{71}<\pi<\dfrac{22}{7}$

Liu Xin (Chine)

3.1457

499

Aryabhata (Inde)

$\dfrac{62832}{20000} = 3,1416$

1120

Fibonacci (Léonard de Pise) (Italie)

$3,141818$

1665

Isaac Newton (Angleterre)

16 décimales

1706

William Jones (Pays de Galles)
Il utilise pour la première fois le symbole $\pi$

1719

Thomas Fantet de Lagny (France)

112 décimales

1761

Johann Heinrich Lambert (Allemagne)Il prouve que $\pi$ est irrationnel, il suggère qu’il est transcendant sans le prouver.

1946

FergusonIl utilise pour la première fois un calculateur informatique, une calculatrice de bureau.

620 décimales

1949

John Wrench (États-Unis) Le premier à utiliser un ordinateur (l’ENIAC) en 70 heures.

2037 décimales

1973

Jean Guilloud et Martin Bouyer (France)Sur un CDC 7600 en 23 h 20 min

1 001 250 décimales

1989

Gregory V. Chudnovsky & David V. Chudnovsky (États-Unis)Sur un CRAY-2 & IBM 3090/VF

480 000 000 décimales

2011

Alexander J. Yee et Shigeru. (Japon)

10 000 milliards de décimales

2016

Peter Trueb

22 x 10¹² décimales

Voici les 2400 premières décimales de pi :
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 190 702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 674 818 467 669 405 132 000 568 127 145 263 560 827 785 771 342 757 789 609 173 637 178 721 468 440 901 224 953 430 146 549 585 371 050 792 279 689 258 923 542 019 956 112 129 021 960 864 034 418 159 813 629 774 771 309 960 518 707 211 349 999 998 372 978 049 951 059 731 732 816 096 318 595 024 459 455 346 908 302 642 522 308 253 344 685 035 261 931 188 171 010 003 137 838 752 886 587 533 208 381 420 617 177 669 147 303 598 253 490 428 755 468 731 159 562 863 882 353 787 593 751 957 781 857 780 532 171 226 806 613 001 927 876 611 195 909 216 420 198 938 095 257 201 065 485 863 278 865 936 153 381 827 968 230 301 952 035 301 852 968 995 773 622 599 413 891 249 721 775 283 479 131 515 574 857 242 454 150 695 950 829 533 116 861 727 855 889 075 098 381 754 637 464 939 319 255 060 400 927 701 671 139 009 848 824 012 858 361 603 563 707 660 104 710 181 942 955 596 198 946 767 837 449 448 255 379 774 726 847 104 047 534 646 208 046 684 259 069 491 293 313 677 028 989 152 104 752 162 056 966 024 058 038 150 193 511 253 382 430 035 587 640 247 496 473 263 914 199 272 604 269 922 796 782 354 781 636 009 341 721 641 219 924 586 315 030 286 182 974 555 706 749 838 505 494 588 586 926 995 690 927 210 797 509 302 955 321 165 344 987 202 755 960 236 480 665 499 119 881 834 797 753 566 369 807 426 542 527 862 551 818 417 574 672 890 977 772 793 800 081 647 060 016 145 249 192 173 217 214 772 350 141 441 973 568 548 161 361 157 352 552 133 475 741 849 468 438 523 323 907 394 143 334 547 762 416 862 518 983 569 485 562 099 219 222 184 272 550 254 256 887 671 790 494 601 653 466 804 988 627 232 791 786 085 784 383 827 967 976 681 454 100 953 883 786 360 950 680 064 225 125 205 117 392 984 896 084 128 488 626 945 604 241 965 285 022 210 661 186 306 744 278 622 039 194 945 047 123 713 786 960 956 364 371 917 287 467 764 657 573 962 413 890 865 832 645 995 813 390 478 027 590 099 465 764 078 951 269 468 398 352 595 709 825 822 620 522 489 407 726 719 478 268 482 601 476 990 902 640 136 394 437 455 305 068 203 496 252 451 749 399 651 431 429 809 190 659 250 937 221 696 461 515 709 858 387 410 597 885 959 772 975 498 930 161 753 928 468 138 268 683 868 942 774 155 991 855 925 245 953 959 431 049 972 524 680 845 987 273 644 695 848 653 836 736 222 626 099 124 608 051 243 884 390 451 244 136 549 762 780 797 715 691 435 997 700 129 616 089 441 694 868 555 848 406 353 422 072 225 828 488 648 158 456 028 50
Pour savoir comment on les calcule, cliquez ici.

Vous pouvez aussi sur cette page vérifier si votre date de naissance ou votre numéro de téléphone est présent dans les décimales de $\pi$ .

Il existe heureusement des moyens mnémotechniques de retenir ces décimales : il s'agit de retenir des phrases dont les mots ont autant de lettres que les décimales successives (un mot de dix lettres donne la décimale 0) de $\pi$ . Voici par exemple un poème connu permettant de trouver les 127 premières décimales :

Que j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'oeuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle.

A propos : biographie de Pythagore

Et bien sûr, cette méthode est aussi utilisée à l'étranger : voici quelques exemples

anglais	Yes, I have a great statement to relate.
	May I have a large container of coffee.
	How I wish I could recollect of circle round The exact relation Archimede unwound.
	How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics !
	How I wish I could enumerate Pi easily, since all these horrible mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply. (ici, « pi's » compte pour un mot)
	But a time I spent wandering in bloomy night ; Yon tower, tinkling chimewise, loftily opportune. Out, up, and together came sudden to Sunday rite, The one solemnly off to correct plenilune.
allemand	Dir, o Held, o Alter Philosoph, du Reisen-Genie ! Wie, viele Tausende bewundern Geister Himmlisch wie du und Göttlich ! Noch reiner in Aeonen Wird das uns strahlen, Wie im lichten Morgenrot !
allemand	Wie ? O ! Dies p Macht ernstlich so vielen viele Müh ! Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein !
espagnol	Con 1 palo y 5 ladrillos se pueden hacer mil cosas.
espagnol	Sol y Luna y cielo proclaman al divino autor del cosmo.
portugais	Sou o medo e temor constante do menino vadio.
danois	Eva, o lief, o zoete hartedief uw blauwe oogen zyn wreed bedrogen.
albanais	Kur e shoh e mesoj sigurisht.

3°/ Son calcul :

3-1°/ A l'origine :

On ne connait pas l'origine du nombre $\pi$ , mais il est déjà présent 2000 av JC. Bien entendu on ne l'appelle pas encore Pi mais il est donné comme le rapport du périmètre du cercle sur son diamètre.

3-2°/ En Egypte :

Il y a 4000 ans, en Egypte, il existait une méthode pour assimiler l'aire d'un disque à celle d'un carré.

Cette "recette" magique fut trouver sur le Papyrus de Rhin. Il s'agit d'une "recette"car, si elle permet de trouver une approximation au 100ième de $\pi$ , il n'y a pas de démonstration et on ne parle pas encore du nombre $\pi$ .

Voici ce quelle raconte : l'aire d'un disque de 9 unités de diamètre est égale à l'aire d'un carré de 8 unités de côté.

Le papyrus de RHIND (vers - 1 650)

Le Papyrus de Rhind est un papyrus de l’ancienne Égypte, datant de la XVème dynastie (vers 1680-1620 avant J.-C.), trouvé à Thèbes en 1858 dans les ruines d’un petit monument proche du Ramesseum par l’égyptologue écossais Alexander Henry Rhinds.

3,16 au lieu de 3,14 cela fait une erreur de moins

de 2 centièmes, ce qui est exceptionnel pour l'époque.

3-3°/ En Grèce : Archimède en -250 av JC sera le premier à faire une démonstration.

3-3-1°/ Démonstration de la formule de l'aire du disque :

Archimède assimile l'aire d'un disque à celle d'un polygone ayant beaucoup de cotés, inscrit au disque.


Découpons un disque de centre O et de rayon R = OA en 12 parts égales.	On déplie le disque.	En réassemblant les parts on fabrique un parallélogramme.

La longueur AB représentant le demi-périmètre du cercle :

Bien entendu la longueur AB n'est pas vraiment un segment, surtout si on découpe le disque en

seulement 12 parts.

Mais plus le nombre de parts sera grand et plus se sera exact.

Si on découpe le disque en un nombre infini de parts, alors les arcs de cercles noirs s'aplaniront,

AB tendra vers un segment, raisonnement sera correct et la formule du disque sera bien $\pi R^{2}$ .

Calculons l'erreur que l'on commet en assimilant AB à un segment, c'est à dire les surfaces noires des figures au-dessus :


Commençons par découper un cercle en 4 et traçons un carré inscrit à l'intérieur.	La zone verte représente la différence entre l'aire du disque et celle du carré. L'erreur est importante.	Si on découpe en 8, la partie verte est plus petite. L'aire de l'octogone se rapproche de celle du disque.	L'erreur verte crée par l'octogone est-elle plus petite que celle, rouge, crée par le carré. C'est le cas car si on rassemble les 2 secteurs circulaires verts ils sont plus petits que l'erreur rouge. On gagne la surface bleue.

3-3-2°/Calcul du nombre $\pi$ :

- Méthode des polygones d'Archimède : il faut encadrer un cercle de rayon 1 par des polygones inscrits et circonscrits et calculer leurs périmètres.

Dans un cercle de diamètre 1 : $Perimetre_{cercle} = 2\pi R = 2\pi \times 1 =2\pi$

Donc :

$\pi =\frac{Perimetre_{cercle}}{2}$

$\widehat{COH} =\widehat{EOB} =\frac{1}{2}\times \frac{360^{\circ}}{n} =\frac{180^{\circ}}{n}$

Traçons l'hexagone inscrit dans le cercle, avec n = 6.

Traçons l'hexagone circonscrit au cercle, avec n = 6.

Dans le triangle COH rectangle en H.

$\sin \widehat{COH}=\frac{CH}{CO}=\frac{CH}{1}=CH\\ donc :CH=\sin \frac{180^{\circ} }{n}\\ Perimetre_{hexagone\ inscrit}= n\times 2CH=2n\sin \frac{180^{\circ} }{n} \\ Ainsi :\pi >\frac{Perimetre_{hexagone\ inscrit}}{2}=n\sin \frac{180^{\circ} }{n}$

Dans le triangle BOE rectangle en B.

$tan \widehat{EOB} =\frac{BE}{BO} =\frac{BE}{1} =BE\\ donc : BE =\tan \frac{180^{\circ} }{n}\\ Perimetre_{hexagone\ circonscrit} = n\times 2BE =2n\tan \frac{180^{\circ} }{n} \\ Ainsi : \pi <\frac{Perimetre_{hexagone\ circonscrit}}{2} =n\tan \frac{180^{\circ} }{n}$

Le nombre $\pi$ sera donc obtenu par l'encadrement suivant :

$Perimetre_{hexagone-inscrit}<Perimetre_{cercle}<Perimetre_{hexagone-circonscrit}\\ \hspace*{5cm}2n\sin \frac{180^{\circ} }{n}<2\pi <2n\tan\frac{180^{\circ} }{n}\\ \hspace*{5cm}n\sin \frac{180^{\circ} }{n}<\pi <n\tan\frac{180^{\circ} }{n}$

Pour n = 6 on aura : 3,10582854123025 < $\pi$ < 3,21539030917347

Bien entendu il s'agit d'une approximation, mais si on renouvelle la démonstration en doublant le découpage du cercle (6, 12, 24, 48, 96...), au bout de 96 parts Archimède a obtenu l'encadrement suivant :

3,141 031 951 < $\pi$ < 3,1427146

pour une valeur exacte de $\pi$ = 3,141 592 653. L'erreur est seulement de moins de 1 millième !!!! 2 siècles avant JC c'est impressionnant.

- Variante de la méthode d'Archimède, mais en calculant les aires : il faut encadrer un disque de rayon 1 par des polygones inscrits et circonscrits et calculer leurs aires.

Dans un disque de diamètre 1 : $Aire_{disque}= \pi R^{2}=\pi \times 1^{2}=\pi$

$\widehat{BOF} =\widehat{GOR} =\frac{1}{2}\times \frac{360^{\circ}}{n} =\frac{180^{\circ}}{n}$

Traçons l'octogone inscrit dans le cercle, avec n = 4.

Traçons l'octogone circonscrit au cercle, avec n = 4.

Dans le triangle BOF rectangle en F.

$\sin \widehat{BOF}=\frac{FB}{BO}=\frac{FB}{1}=FB\\ BK = 2FB = 2\times \sin \widehat{BOF}=2\times \sin \frac{180^{\circ}}{n}\\ \cos \widehat{BOF}=\frac{OF}{BO}=\frac{OF}{1}=OF = \cos\frac{180^{\circ}}{n} \\ Aire_{disque\ inscrit}=\frac{apotheme\times P�erimetre_{polygone}}{2}\\ \hspace*{3.5cm}=\frac{OF \times n\times KB}{2}\\ \hspace*{3.5cm}=\frac{\cos\frac{180^{\circ}}{n}\times n\times2\times \sin \frac{180^{\circ}}{n} }{2}\\ \hspace*{3.5cm}=n\times\cos\frac{180^{\circ}}{n}\times \sin \frac{180^{\circ}}{n}$

Dans le triangle GRO rectangle en G.

$\tan \widehat{GOR}=\frac{GR}{OG}=\frac{GR}{1}=GR\\ SR = 2GR = 2\times \tan \widehat{GOR}=2\times \tan \frac{180^{\circ}}{n}\\ Aire_{disque\ circonscrit}=\frac{apotheme\times Perimetre_{polygone}}{2}\\ \hspace*{3.5cm}=\frac{OG \times n\times SR}{2}\\ \hspace*{3.5cm}=\frac{1\times n\times2\times \tan\frac{180^{\circ}}{n} }{2}\\ \hspace*{3.5cm}=n\times \tan\frac{180^{\circ}}{n}$

Le nombre $\pi$ sera donc obtenu par l'encadrement suivant :

$Aire_{hexagone-inscrit}<Aire_{cercle}<Aire_{hexagone-circonscrit}\\ \hspace*{1cm}n\times\cos\frac{180^{\circ}}{n}\times \sin \frac{180^{\circ}}{n}<\pi <n\times\tan\frac{180^{\circ}}{n}$

Pour n = 4 on aura : 2,82842712474619 < $\pi$ < 3,31370849898476

Là encore, il s'agit d'une approximation, mais si on renouvelle la démonstration en doublant le découpage du disque (4, 8, 16, 32, 64, 128....), au bout de 128 parts on obtient l'encadrement suivant :

3,14033115695475 < $\pi$ < 3,14222362994246

Voici un fichier Excel qui donne des encadrements jusqu'à plusieurs millions de parts.

Mathadore66-1.5.23

côté