XXVI°/ Les preuves par 9 et par 11 :
a/ La preuve par 9 :
Cette preuve qui est encore utilisée à bon escient dans certaines classes.
Tout de même cette preuve n'en a que le nom, car si elle est fausse c'est certain, notre opération est fausse. Mais si elle tombe juste alors l'opération est peut-être bonne... cependant ce n'est pas sûr, car 2 erreurs peuvent s’annuler.
Toutefois elle est intéressante car elle fait réfléchir sur la technique de l'opération.
Habituellement elle est utilisée pour la multiplication et la division, mais elle peut être également utilisée pour l'addition et la soustraction.
Elle repose sur le principe suivant : on refait l'opération désirée en remplaçant chacun des nombres par son reste dans la division par 9.
Ce reste sera un nombre de 0 à 8.
On sait que ce reste est le même que celui de la somme des chiffres du nombre. Chaque fois qu'il y a un 9, on peut le remplacer par 0.
On recommence le procédé jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre plus petit que 9.
Ainsi pour le nombre 7 854 672 on obtiendra d'abord 7 + 8 + 5 + 4 + 6 + 7 + 2 soit 39 qui va donner 3.
3 est le reste de 7 854 672 dans la division par 9. Vous pouvez le vérifier.
Si on le désire on peut remplacer chaque somme partielle comme 7 + 8 = 15 par 1 + 5 = 6 et ainsi de suite...
Voici un fichier Excel pour vous entrainer : La preuve par 9
b/ La preuve par 11 :
Le principe est le même que celui de la preuve par 9, mais on utilise cette fois le critère de divisibilité par 11.
Comme il fait appel à une soustraction, il n'est pas enseigné à l'école primaire parce qu'on peut tomber sur un nombre négatif avec la soustraction.
On sait que ce reste est le même que celui de la somme des chiffres de rang impair en partant de la droite moins la somme des chiffres de rang pair en partant de la droite.
C'est un peu compliqué à dire mais facile à mettre en œuvre voici un exemple :
Ainsi pour le nombre 79 859 632 on fera : (2 + 6 + 5 + 9) - (3 + 9 + 8 + 7) = 22 - 27
Nous sommes dans le cas où 27 est plus grand que 22. Alors on ajoute à 22 autant de fois de 11 qu'il le faut, pour obtenir une soustraction avec un résultat positif : 22 + 11 = 33
Et le nombre a même reste que 33 - 27 soit 6.
On recommence jusqu'à obtenir un nombre plus petit que 11.
Voici un fichier Excel pour vous entrainer : La preuve par 11
