En utilisant 4 fois le même chiffre, des parenthèses et les 4 opérations, comment écrire les nombres proposés (les nombres non proposés sont impossibles).
Les numérologues considèrent que le nombre 666 est maléfique, aussi le remplacent-ils par de jolies combinaisons.
Ainsi :
666 = 6 + 6 + 6 + 633+ 633 + 633.
C'est aussi la somme des sept premiers nombres premiers :
666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17².
C'est par ailleurs un nombre palindromique c'est à dire qu'il peut se lire de droite à gauche ou de gauche à droite.
D°/ Somme des n premiers nombres entiers impairs = n² :
De façon générale la somme des n premiers nombres impairs est n². En effet la suite arithmétique des n premier nombre impair donne :
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + (2n – 1 ) =
Avec : Premier terme : u1 = 1
Dernier terme : un = 2n – 1
Nombre de termes : n
Exemple. La somme des 4 premiers nombres impairs est le carré de 4, soit 16 : 1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16
E°/ Somme des n premiers carrés = n (n+1) (2n+1) / 6 :
Commençons par les 4 premiers carrés : 12 + 22 + 32 + 42 = ( 4 x 5 x 9 ) / 6 = 30
Pour cela constituons un pyramidal en empilant quatre étages de forme carrés. Nous avons un carré de 1 case, puis un carré de 2² = 4 cases, puis de 3² = 9 cases et enfin de 4² = 16 cases.
Maintenant, comme dans un puzzle 3D, agençons six pyramidaux pour reconstituer un parallélépipède rectangle de dimensions 4, 5 et (2 x 4 + 1 =) 9. Nous obtenons alors : 12 + 22 + 32 + 42 = ( 4 x 5 x 9 ) / 6 = 30 cubes.
De même agençons six pyramidaux constitués de carrés de 1 à 5² cases. Nous obtenons un parallélépipède de dimensions 5, 6 et (2 x 5 + 1 =) 11.
Somme des carrés des 5 premiers entiers Somme des carrés des 6 premiers entiers
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = ( 5 x 6 x 11 ) / 6 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62= ( 6 x 7 x 13 ) / 6
Le procédé se généralise avec un pyramidal obtenu en empilant des carrés de 1 à n² cases. Six pyramidaux réunis permettent de construire un parallélépipède de dimensions n, n+1 et 2n+1.
Le grand cube dont les côtés mesurent (a + b) a un volume de (a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)³ Il est composé : .ducubed'arête a et de volumea³, .des3 parallélépipèdes rectanglesde côtés a, a et b de volumesba² chacun, .des3 parallélépipèdes rectanglesde côtés a, b et b de volumesab² chacun, .ducubed'arête b et de volumeb³.
Donc (a+b)³= a³ + 3ba²+ 3ab² + b³
Par le calcul, nous avons bien : (a+b)3 = (a + b)2 (a + b) (a+b)3 =(a2 + 2ab + b2 )(a + b) (a+b)3 = a3 + 2a2b + b2a + a2b + 2ab2 + b3 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
G° Somme des n premiers cubes = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n ) 2 :
