IV°/ Drôles d’égalités :
G°/ Un demi euro est égal à 5 centimes :
H°/ Un euro est égal à 10 centimes :
M°/ 2 = 1 (encore et toujours) :
O°/ La preuve qu'un trapèze est toujours un parallélogramme :
P°/ La somme de tous les entiers positif est égal à -1/12 ?
| Posons : |
X = 0,9999...... |
| multiplions X par 10 | 10X = 9,9999..... (1) |
| ajoutons 9 à X | 9 + X = 9,9999..... (2) |
| donc (1) = (2) | 10X = 9 + X |
| déplaçons X | 9X = 9 |
| déplaçons 9 |
X = 1 !!!!!!!!!!!! |
Trouver l'erreur dans le raisonnement.
Solution de l'énigme :
En fait, il faut considérer que X a un nombre défini de décimales. Donc en faisant 10X on "décale" la virgule d'un chiffre vers la droite. On perd donc une décimale.
Or en faisant 9 + X on "remplace" le 0 par un 9. On a donc le même nombre de décimales.
Conclusion: 10 × X est différent de 9 + X !!!!!!
A, B, C et D sont 4 nombres quelconques. Alors si A = B et C = D, on a donc A x C = B x D.
Pourtant A = 1 kg = 1000 g = B et C = 0,5 kg = 500 g = D
On en déduit que 1 x 0,5 kg = 1000 x 500 g et que donc 0,5 kg = 500000 g c'est à dire 0,5 kg = 500 kg !
Ou est l'erreur??
Solution de l'énigme :
En fait, en multipliant des kg par des kg on invente une unité qui n'a aucun sens, les kg² !!!!!
Si quelqu'un est capable de m'expliquer à quoi correspondent des kg² ou des g², je lui offre des cacahuètes !!
Bonne chance
Soit X et Y, 2 nombres égaux : X = Y
On multiplie par X : X² = X × Y
On soustrait par Y2 : X² - Y² = (X × Y) - Y²
On factorise : (X + Y) × (X - Y) = Y × (X - Y)
On divise par (X- Y) : X + Y = Y
Or X = Y donc remplaçons Y par X : Y + Y = Y
Donc : 2 Y = Y
On simplifie par Y : 2 = 1 !!!
Où est l'erreur ?
Solution de l'énigme :
Pour passer de : (X + Y) × (X - Y) = Y × (X - Y) à : X + Y = Y
on divise les 2 côtés de l'égalité par (X - Y).
Or (X - Y) = 0.
Et on ne peut pas diviser par 0.
Soit
A= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128...
Alors
2A = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128...
et
2A+1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128...
On a donc : 2A+1 = A
D'où A = -1
Or A est une somme de termes positifs. Comment peut-il être alors négatif ?
De plus A est infini, comment peut-il être égal à -1 ?
Solution de l'énigme :
A ≠ 2A+1 car A est une somme infinie et que (2A+1) en est une autre mais plus grande.
Si 2A+1 = A alors (2A+1)-A = 0, mais :
Prenez d'abord : 1 m = 1000 mm et 2 m = 2000 mm
Multiplions chaque longueur en m entre elles puis de même pour celles en mm. On a donc l'égalité :
1 m × 2 m = 1 000 mm × 2 000 mm
Ce qui fait donc : 2 m = 2 000 000 mm
Soit plus exactement en changeant d'unité : 2 m = 2 000 m
Où est donc l'erreur ?
Solution de l'énigme :
1 m² n’est pas égal 1000 mm². Exercice parfait pour maitriser les calculs avec unités.
L'égalité suivante est vraie : 16 - 36 = 25 - 45
Soit : 42 - 9 x 4 = 52 - 9 x 5
Soit encore : 42 - 9 x 4 - 81/4 = 52 - 9 x 5 - 81/4
En appliquant une égalité remarquable, on a alors :
(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2
Soit : 4 - 9/2 = 5 - 9/2
Soit encore : 4 = 5.
Et pourtant 4 n'est pas égal à 5, alors où est l'erreur ?
Solution de l'énigme :
(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2
(- 4,5)² = (+ 4,5)² Jusque-là tout est vrai.
Mais si a² = b² alors a = ± b et donc a n’est pas obligatoirement égal à b.
G°/ Un demi euro est égal à 5 centimes :
| On sait que 25 centimes est égal à 1/4 d'euro. | 25 cts = 1/4 € |
| Or la racine carrée de 25 est égale à 5 et celle de 1/4 est égale à 1/2. |
|
| On en déduit que : 1/2 euro = 5 centimes. | 5 cts = 1/2 € |
Et pourtant 1/2 euro n'est pas égal à 5 centimes, alors où est l'erreur ?
Solution de l'énigme :
Si on peut comparer des centimes avec des euros, on ne peut le faire avec leurs racines carrées qui n’existent pas.
H°/ Un euro est égal à 10 centimes :
| On sait que 100 centimes est égal à 1 euro. | 100 cts = 1 € |
| Or la racine carrée de 100 est égale à 10 et celle de 1 est égale à 1. | |
| On en déduit que : 1 euro = 10 centimes. | 10 cts = 1 € |
Et pourtant 1 euro n'est pas égal à 10 centimes, alors où est l'erreur ?
Solution de l'énigme :
Si on peut comparer des centimes avec des euros, on ne peut le faire avec leurs racines carrées qui n’existent pas.
Soient les trois nombres suivants : x = 3 ; y = 1 ; z = 2
donc : x = y + z
Je multiplie par x – y : x(x-y) = (y+z)(x-y)
Je développe : x² - xy = xy + zx - y² - yz
. x² - xy - zx = xy - y² - yz
Je factorise : x(x - y - z) = y(x - y - z)
Soit en simplifiant, x = y
C'est-à-dire : 3 = 1
Solution de l'énigme :
En simplifiant par (x – y – z) = 3 – 2 – 1 = 0, on divise par zéro, ce qui est impossible.
Soit n un entier quelconque. La formule de la somme algébrique dit :
Conclusion : tout entier est égal à 1.
Solution de l'énigme :
L'erreur vient du passage :
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = 1 + ((n - 1)n)/2
1 + 2 + 3 + ... + n = 1 + ((n - 1)n)/2
En effet, les écritures « 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 » et « 1 + 2 + 3 + ... + n » ne sont pas égales. Par exemple, si n = 6,
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 = 16
1 + 2 + 3 + ... + n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Il faut être très attentif quand on utilise des points de suspension, et il vaut mieux utiliser le symbole Sigma (si on le connaît)
 |
Soit AO = BO = 1 Périmètre du ½ cercle = π x R = π = 3.14... |
 |
Le demi-cercle noir a même périmètre que les 2 2 x π x 0.5 |
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Le demi-cercle noir a même périmètre que les 2 demi-cercles roses de rayon 0,5 qui ont même périmètre que les 4 demi-cercles bleus de rayon 0,25 qui ont même périmètre que les 8 demi-cercles bruns de rayon 0,125 qui ont même périmètre que les 16 petits demi-cercles roses de rayon 0,0625. |
Et comme cela indéfiniment, donc le demi-cercle devient son diamètre, et π = 2
Quand on poursuit indéfiniment les constructions proposées, les longueurs des demi-cercles ont effectivement toutes la même longueur et à la fin, ces demi-cercles vont tendre à se confondre avec le diamètre initial.
Pourtant sous les apparences d'une logique inattaquable, il y a une faille dans le raisonnement. Pi est évidemment différent de 2.
La conclusion annoncée ci-dessus est basée sur une fausse interprétation de la "limite" dont la définition précise est la suivante: « Une grandeur variable L a pour limite une grandeur fixe A. Lorsque la différence entre L et A peut devenir et rester moindre que toute quantité donnée à l'avance, aussi petite qu'elle soit. »
Les grandeurs L et A sont ici respectivement le périmètre des demi-cercles et la longueur du diamètre. Mais A est constant et non variable, et la différence entre L et A est également constante.
On ne se trouve donc pas du tout dans les conditions de la définition précédente, et il n'est alors pas surprenant que nous soyons arrivés à un RESULTAT ABSURDE.
Deux nombres mythiques Sept et Treize se querellaient :
Sept se prenait pour la merveille du monde,
Treize se prétendait le messager du bonheur.
Mais Vendredi les déclara égaux !
Voici comment :
finalement nous avons deux fractions de même numérateur, les dénominateurs sont donc égaux et
7 - x = 13 - x
d'où
7 = 13
- Quoi ? s'écrie Treize consterné, c'est donc que l'équation de départ est fausse et impossible !
- Mais non ! répond Sept tout heureux au Treize devenu porte-malheur,
notre ami x = 1O, solutionne parfaitement cette équation !
En effet, si l'on remplace x par 10 dans l'équation initiale on trouve bien :
L’équation est donc juste.
Donc: 7 = 13
Solution de l'énigme :
Les fractions sont bien égales, leurs numérateurs aussi, mais pas les dénominateurs !
Affirmer cela, revient à simplifier par le numérateur.
Or celui-ci est nul puisque la seule valeur de x satisfaisant l'équation de départ est x = 10. L’équation n’existe que si x = 0.
Or on ne peut pas simplifier par zéro !
Imaginez donc si on pouvait le faire :
on aurait l'égalité de 6 et 458 et bien d'autres choses...
M°/ 2 = 1 (encore et toujours) :
Posons d'abord :
2 = 1 + 1
Multiplions chaque membre par (2 - 1) :
2x(2-1)=(1 + 1)(2 - 1)
Développons:
2x2 - 2x1 = 1x2 - 1x1 + 1x2 - 1x1
Passons 1x2 de droite à gauche :
2x2 - 2x1 - 1x2 = 1x2 - 1x1 - 1x1
Factorisons:
2x(2 - 1 - 1) = 1x(2 - 1 - 1)
En simplifiant les 2 membres par le facteur (2 - 1 - 1), il reste alors :
2 = 1
Il y a une erreur quelque par, mais où ?
Solution de l'énigme :
On ne peut pas diviser par (2 - 1 - 1), car 2 - 1 – 1 = 0 et la division par zéro est impossible.
On part de l'égalité :
4 - 10 = 9 – 15 = -6
Ajoutons aux deux membres le même nombre : (5/2)² :
4 - 10 + (5/2)²= 9 - 15 + (5/2)²
On fait quelques transformations :
2² - 2x2x5/2 + (5/2)² = 3² -2x3x5/2 + (5/2)²
Par identité remarquable on a :
(2 - 5/2)² = (3 - 5/2)²
En extrayant la racine carrée des deux membres de l'égalité on obtient alors :
2 - 5/2 = 3 - 5/2
Ce qui donne alors : 2 = 3
Il y a une erreur quelque par, mais où ?
Solution de l'énigme :
Lorsque l’on extrait les racines, on oublie les valeurs négatives. En effet :
Si x² = y² alors x = +y ou –y
Dans le cas présent :
Si (2 - 5/2)² = (3 - 5/2)² alors 2 - 5/2 = - (3 - 5/2)
2 – 3 = 5/ 2 + 5/2
1 = 10/2 ce qui est exact !!!!
O°/ La preuve qu'un trapèze est toujours un parallélogramme :
Sur la figure ci-dessus, ABCD est un trapèze quelconque de bases [AB] et [CD].
On pose : AB = x et CD = y.
Les points E et F sont respectivement placés sur les droites (AB) et (CD) tels que : BE = y et DF = x.
Les droites (BD) et (EF) se coupent en G.
Les droites (AC) et (DB) se coupent en H.
En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles ABH et CDH, on a :
et donc
En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles DFG et BEG, on a :
et donc
Ainsi :
On a ainsi :
Et donc :
C'est à dire que la partie numérique (la valeur absolue) de x est égale à celle de y car HD - GB = - (GB - HD)
Les côtés [AB] et [CD] sont donc parallèles et de même longueur.
On en déduit que le trapèze ABCD est un parallélogramme.
Et pourtant tout trapèze n'est pas un parallélogramme, alors où est l'erreur ?
Solution de l'énigme :
En fait les segments [HD] et [GB] sont égaux, et lorsque l'on divise par (BG - HD), on divise par zéro ce qui est impossible.
De plus, trouver des longueurs négatives est impossible.
P°/ La somme de tous les entiers positif est égal à -1/12 ?
| Posons | A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... |
| alors | 1 - A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... |
| donc | 1- A = A |
| cad | A = 1/2 = 0,5 |
| Posons | B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 ... |
| additonnons membre à membre | A + B = 2 - 3 + 4 - 5 + 6 .... |
| donc | -1 + A + B = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 .... |
| ainsi | -1 + A + B = -B |
| on sait que A = 0,5 | B = 0,5 / 2 = 1/4 = 0.25 |
| Somme de tous les entiers |
C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 .... |
| on a | -B = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 ... |
| donc | C - B = 4 + 8 + 12 + ... = 4 x ( 1 + 2 + 3 +4 +...) = 4 C |
| donc | C = -B/3 = - 0.25/3 = - 1/12 |
Solution de l'énigme :
En fait, comme pour l'énigme du A°/ , on compare des infinis qui ne sont pas les mêmes. A n'est pas égal à 1 - A !!!
Selon comment on écrit A il sera égal à 0 ou 1. Si on note une suite fini de termes :
A = 1 - 1 = 0 mais A = 1 - 1 + 1 = 1
