JEUX
. 3°/ Jeu : Aurez-vous le dernier mot ?
. 4°/ Un jeu pédagogique: Le jeu des mots de cinq lettres :
. 5°/ Quelques ALPHAMÉTIQUES :
. 6°/ Les quotients miracles :
. 7°/ Les nombres découverts :
. 8°/ Les résultats surprises :
. 10°/ Le casse-tête des pentominos :
Il s'agit de déplacer les jetons de la tour de gauche vers celle de droite en ne plaçant jamais un jeton sur un autre plus petit...
On ne peut déplacer qu’un jeton à la fois mais sur n’importe quelle tour.
Description
Le jeu Wyx inventé par Joël Gauvain peut se jouer à deux ou à un seul joueur. Cette page est consacrée au puzzle à un seul joueur qui utilise des grilles préparées.
Visitez le site de Wyx, si vous jouez seul, procurez-vous les grilles du jeu et excercez-vous.
Vous pourrez aussi jouer en ligne sur une centaine de grilles Wyx.
Wyx est un jeu mathématique pour tous publics, certaines grilles parmi les moins compliquées peuvent être résolues par des enfants. Wyx permet d'aborder le plus simplement possible un grand nombre de notions mathématiques diverses, en géométrie ce sont la translation plane, les vecteurs et la somme vectorielle, en théorie des graphes ce sont les chemins hamiltoniens multicolores (ou arcs-en-ciel)...
Rechercher une solution incite à élaborer des algorithmes réfléchis, justifiés et efficaces, c'est-à-dire à faire des mathématiques.
Grille
Sur chaque feuille vous apercevez à gauche un échiquier de 8x8=64 cases, certaines marquées d'un rond 
.
La case de départ est marquée d'un cavalier 
qui devra aller d'un rond à l'autre jusqu'au dernier.
Parfois le premier 
et le deuxième 
arrêt sont indiqués.
Dominos
À droite de la feuille de jeu, vous avez 12 dominos qui correspondent chacun à un déplacement de plusieurs cases vers la gauche ou la droite et aussi de plusieurs cases vers le bas ou le haut.
Ainsi le domino 
correspond à un déplacement de 3 cases vers la gauche et deux cases vers le bas, c'est-à-dire tout simplement à une translation de vecteur u(-3, -2). Ces 12 déplacements sont deux à deux différents.
Dans ses déplacements, le cavalier devra effectuer une fois et une seule chacun des 12 déplacements. Les grilles sont construites pour qu'il y ait une solution et une seulement.
Exemple
. 3°/ Jeu : Aurez-vous le dernier mot ?
Il existe un jeu intéressant appelé " les échelles de mots ". Il s'agit de passer d'un mot à un autre en utilisant des mots intermédiaires. A chaque étape, une lettre est enlevée, ajoutée ouremplacée par une autre, les autres restant identiques et dans la même position. Toutes les formes grammaticales sont permises. " écrit P. Berloquin dans la revue Science & Vie, # 676, janvier 1974.
Par exemple, on peut passer de CHAUD à FROID de cette manière :
CHAUD
CHAUT
HAUT
FAUT
FAIT
LAIT
LAID
LAIDE
RAIDE
ROIDE
FROIDE
FROID
On trouve ici 10 intermédiaires. Pouvez-vous faire mieux ?
Exercez-vous avec les problèmes suivants en tentant de faire la liaison avec le moins d'intermédiaires possibles.
CROC - DENT
FILLE - GARÇON
AUBE - SOIR
RIEN - TOUT
Dans la même revue, P. Berloquin parle de pondérer les proverbes français en associant à chaque lettre de la phrase un nombre correspondant à sa place, ce nombre restant identique si la lettre est répétée. Il donne l'exemple suivant :
A B O N C H A T B O N R A T
1 2 3 4 5 6 1 7 2 3 4 8 1 7
Le total donne 54. Il obtient alors le poids du proverbe en divisant ce nombre par le nombre de lettre du proverbe. Ici : 54/14 = 3,85.
Quel est le proverbe français le plus léger ? Le plus lourd ?
. 4°/ Un jeu pédagogique: Le jeu des mots de cinq lettres :
Matériel: papier et crayon.
Nombre de joueurs: 2 (ou plus, si on joue par équipe)
But: Découvrir le mot caché de l'adversaire.
Préparation: On joue à deux (1 contre 1). Chaque joueur choisit un mot de cinq lettres remplissant certaines conditions et l'inscrit sur un morceau de papier, ledit morceau étant tenu caché des yeux de l'adversaire.
Conditions du choix du mot:
Le mot doit être de cinq lettres et doit être singulier, à moins qu'il ne s'écrive normalement au pluriel: RADIO, LUEUR, MOINS sont permis mais YEUX, MAISONS, LIONS ne le sont pas.
Le mot doit être au masculin à moins qu'il prenne normalement le féminin. Ex: FEMME, SOUPE sont permis, mais FORTE, FOLLE ne sont pas permis.
Aucun nom propre n'est permis.
Les verbes ne peuvent être employés qu'à l'infinitif.
Marche générale du jeu: A et B sont deux joueurs ayant préalablement caché un mot répondant aux normes ci-dessus. On tire au sort le joueur qui commence. Supposons ici que c'est A. Il lance alors à l'adversaire un mot de cinq lettres répondant aussi aux normes ci-dessus. B répond alors le NOMBRE de lettres communes que son mot caché possède avec le mot énoncé par A. B joue ensuite.
Exemple 1:
B cache RADIO
Si A lance POINT alors B répondra 2. (car les lettres O et I sont communes)
Si A lance MAMAN alors B répondra 1 (car le A est la lettre commune)
Exemple 2:
B cache FINIR
Si A lance POINT, alors B répondra 1 + 1 qui se répète deux fois. (car le premier 1 est la lettre N, et le 1 qui se répète deux fois est la lettre I).
En fait, en lançant POINT, A demande si le mot de B contient un P, un O, un I, un N ou un T. La réponse de B signifie ici que son mot possède une de ces lettres une fois, et une autre lettre deux foix.
Remarque: Lorsqu'un mot est lancé, on ne prend que les lettres différentes dans le mot lancé pour les comparer au mot caché.
Si par exemple, on lance le mot DIVIN, cela signifie que les lettres demandées sont D, I, V et N. Si ERRER est lancé, cela signifie que les lettres E et R sont demandées.
Il faut donc être très attentif au mot que l'adversaire nous lance car tout le raisonnement du joueur est basé sur la réponse donnée. Ex: Le mot caché est RESTE, l'adversaire lance ERRER. Il faut alors répondre une lettre commune, plus une qui se répète deux fois [R + E + E]
Règles :
Lorsqu'un mot lancé est illégal, le joueur ayant demandé le mot perd son tour.
La partie se termine lorsqu'un joueur a lancé le mot de l'adversaire. Cependant TOUS les joueurs doivent lancer un même nombre de mots. (Il n'y a donc pas d'avantage à jouer premier)
Si un joueur a mal répondu au mot lancé par son adversaire, il perd automatiquement la partie.
Exemple d'une partie jouée entre A et B. A a caché RADIO, B a caché ECART.
Notez que le mot caché par B est excellent car, même si A trouve toutes les lettres le composant, cela peut lui demander plusieurs tours avant de
Le trouver: ECART, TRACE, CARTE ont tous les mêmes lettres.
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Tour |
A lance (B répond) |
B lance (A répond) |
|
1 |
ERRER (2) A sait maintenant que le MOT de B contient les lettres E et R. |
POINT (2) |
|
2 |
MAMAN (1) |
PISTE (2) |
|
3 |
MASSE (2) |
POSTE (1) |
|
4 |
TASSE (3) |
PORTE (2) |
|
5 |
CANON (3) |
ERRER (1) |
|
6 |
NOUER (2) |
CROIX (3) |
|
7 |
CARTE (5) |
RADON (4) |
|
8 |
TRACE (5) |
RADIO (tu as gagné...) |
. 5°/ Quelques ALPHAMÉTIQUES :
Le mot " alphamétique " a d'abord été proposé par le torontois J.A.H. Hunter en 1955. Ce mot est maintenant reconnu pour ce genre de puzzle faisant intervenir des lettres, ces dernières ayant souvent un sens.
Le premier exemple connu d'un alphamétique est celui-ci :
. SEND
+ MORE
--------------
MONEY
Ici, chaque lettre distincte représente un chiffre différent. On s'entend pour que les premiers chiffres ne représentent pas zéro. Aussi, la lettre " O " ne représente pas nécessairement 0 (zéro). Dans l'exemple donné plus haut, SEND=9567 ; MORE=1085 ; MONEY=10652.
Un exemple d’énigme pourrait-être :
a / L’étudiant sans argent :
Jean Dupont se rappelle du télégramme qu'il avait envoyé à ces parents pour leur demander de lui envoyer de l'argent. Le PCV n'existait pas, le FAX et le MAIL non plus. Il ne lui restait que 30 cents soit le prix de 3 mots pour un télégramme qui fut le suivant :
. SEND
+MORE
------------
MONEY
Pour les anglophobes, SEND = envoyer, MORE = plus et MONEY = argent.
Jean, élève intelligent, fit de telle façon qu'il n'y ai pas 2 lettres équivalente à un même chiffre.
Quelle est la somme demandée???
b / Sauriez-vous résoudre les trois alphamétiques suivants :
Le premier est tiré du livre de Pierre Berloquin, " 100 jeux numériques " . Le deuxième est un problème proposé par J.A.H. Hunter dans le " Journal of Recreational Mathematics " Vol. 10, No 1, 1977-78 , et le troisième est un petit alphamétique de ma création.
Réponse à l’énigme:
YXXXZ = 19998
LAVONS = 192640 ALORS = 91 650 (ou 91 670) NOUS = 4670 (ou 4650)
DOUZE = 10325 DIX = 149 PLUS = 8637 DEUX = 1539
ROUE = 4653 (ou 2673) VELO = 9306 (ou 5346)
MEGA = 4190 GIGA = 9590 EXTRA = 13 780
FAN = 943 CLUB = 6205 STAR = 7148
PERE = 4030 MERE = 2030 BEBE = 6060
MOI = 836 TOI = 536 NOUS = 1372
NUIT = 8531 LIT = 731 REVE = 9262
HUIT = 8253 SEIZE = 16 506
DEUX = 1329 NEUF = 6324 ONZE = 7653 SIX = 927 CINQ = 5213 ONZE = 6140
ALEA = 6746 JACTA = 86 916 EST = 401 CESAR = 94 063
ŒIL = 1043 YEUX = 2086
UN = 36 SIX = 210
HOMME = 35 771 FEMME = 61 771 AMOUR = 97 542
PARENT = 647 125 (ou 628 124) ENFANTS = 1 294 250 (ou 1 256 248)
MARIE = 64 830 (ou 65 830) CURIE = 25 830 (ou 24 830) FEMME = 90 660
UN = 35 SIX = 210 ( il existe 13 solutions différentes )
. 6°/ Les quotients miracles :
a / Avec un nombre de 3 trois chiffres :
1/ Choisissez un nombre s’écrivant avec 3 chiffres.
2/ Ecrire côte à côte deux fois cet entier, de façon à obtenir un nombre à 6 chiffres.
3/ Divisez ce nombre par 7.
4/ Divisez le quotient obtenu par 11.
5/ Divisez le quotient obtenu par 13.
6/ Expliquez le résultat obtenu, sinon recommencez avec un autre nombre.
Réponse :
1/ Nombre de 3 chiffres choisit : abc
abcabc → 100 000a + 10 000b + 1 000c + 100a + 10b + c = 100 100a + 10 010b + 1 001c
. = 1 001( 100a + 10b + c)
. = 7 x 11 x 13 ( 100a + 10b + c)
Donc, si on divise par 7, par 11 puis par 13, on retombe sur le nombre de départ abc.
b/ Avec un nombre de 2 trois chiffres :
1/ Choisissez un nombre s’écrivant avec 2 chiffres.
2/ Ecrire côte à côte trois fois cet entier, de façon à obtenir un nombre à 6 chiffres.
3/ Divisez ce nombre par 3.
4/ Divisez le quotient obtenu par 7.
5/ Divisez le quotient obtenu par 13.
6/ Divisez le quotient obtenu par 37.
7/ Expliquez le résultat obtenu, sinon recommencez avec un autre nombre.
Réponse :
1/ Nombre de 2 chiffres choisit : ab
ababab → 100 000a + 10 000b + 1 000a + 100b + 10a + b = 101 010a + 10 101b
. = 10 101( 10a +b)
. = 3 x 7 x 13 x 37 x( 10a +b)
Donc, si on par 3, 7, 13 puis par 37, on retombe sur le nombre de départ ab.
. 7°/ Les nombres découverts :
a / Votre chiffre préféré :
Voici un joli tour basé sur la propriété du nombre 12345679. Attention, le 8 n'y est pas.
Demandez à un ami quel est son chiffre préféré.
Si par exemple c'est 5, proposez-lui de calculer le produit 12345679 par 9 fois ce chiffre cad 9 x 5 = 45.
Il trouve un nombre composé uniquement de la répétition de son chiffre préféré : 555 555 555
Si votre ami répond 3 alors il devra multiplier 12345679 par 27 et il trouvera 333 333 333.
Explication :
Tout repose sur la propriété : 12345679 x 9 = 111 111 111
Ainsi si le chiffre préféré de votre ami est 6, il suffit de lui faire calculer 12345679 par 54 qui 9x6.
Nous aurons : 12345679 x 54 = 12345679 x 9 x 6
. = 111 111 111 x 6
. = 666 666 666.
b / Je devine le résultat :
b-1/ TOUR DE MAGIE :
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Je devine le résultat |
Exemple |
|
Prenez un nombre de trois chiffres. Choisir des nombres non palindromes. (le 1ier est différent du dernier) |
N = 853 |
|
Formez un deuxième nombre en renversant l'ordre des chiffres. |
Nr = 358 |
|
Soustraire le plus petit du plus grand. |
M = N - Nr = 495 |
|
Retournez ce nouveau nombre. |
Mr = 594 |
|
Ajoutez ces deux nombres. |
M + Mr = 495 + 594 |
|
Le résultat est toujours. |
= 1 089 |
|
Mise en scène Avant de faire le tour, inscrire 1089 sur un papier. Note Il est plus facile de faire ce tour en ayant une calculette. Attention Exemple: 323 – 323 = 0 |
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|
Explications : |
|
|
|
Tour de magie |
Exemple |
Explication |
|
Prenez un nombre de trois chiffres. Choisir des nombres non palindromes, |
N = 853 |
N = 100.a + 10.b + c. |
|
Formez un deuxième nombre en renversant l'ordre des chiffres. |
Nr = 358 |
Nr = 100.c + 10.b + a |
|
Soustraire le plus petit du plus grand. |
M = N - Nr = 495 |
M = N - Nr = 100a - 100c + c - a |
|
Retournez ce nouveau nombre. |
Mr = 594 |
Mr = 100(10 + c - a) + 90 + a - c - 1 |
|
Ajoutez ces deux nombres. |
S = M + Mr = 495 + 594 |
S = M + Mr = 100( a - c - 1) + 90 + 10 + c - a + 100(10 + c - a) + 90 + a - c - 1 = 100 (10-1) + 90 + 90 + 10 - 1 |
|
Le résultat est toujours: |
S = 1 089 |
S = 900 + 180 + 9 = 1 089 |
b-2/ TOUR DE MAGIE n°2 : Avec machine à calculer.
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Le magicien inscrit un nombre sur un papier qu'il plie. |
26 473 |
|||
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Mentalement il supprime le premier chiffre et l'ajoute au dernier. |
6 473 + 2 = 6 475 |
|||
|
Il inscrit ce nombre sur un tableau. |
6 475 |
|||
|
Un spectateur inscrit un nombre de 4 chiffres. |
8 523 |
|||
|
Le magicien inscrit un nombre de 4 chiffres: en fait, le complément à 9. |
1 476 |
|||
|
Un nouveau chiffre du spectateur. |
3 914 |
|||
|
Le magicien aussi, toujours le complément à 9. |
6 085 |
|||
|
Le magicien tire un trait et fait la somme des nombres bleus. |
26 473 |
|||
|
Le billet du début est déplié et on voit le même nombre. |
26 473 |
|||
Explications : - Le nombre 6 475 écrit en premier est égal au nombre de départ 26 473 moins 20 000 plus 2.
Donc : 26 473 = 6 475 - 2 + 20 000 = 6 475 + 19 998 = 6 475 + 9 999x2
- Chaque additions spectateur + magicien = 9 999 (6 475 + 8 523 = 9 999)
- Il faut donc effectuer autant de tour que le chiffre des dix-mille du nombre de départ. Dans l'exemple c'était 2.
b-3/ TOUR DE MAGIE n°3 :Avec les identités remarquables.
|
Explications |
Exemple |
Formulation |
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|
Pense à un nombre |
5 |
n |
|
|
Multiplie-le par lui-même |
25 |
n² |
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|
Ajoute 1 à ton nombre de départ |
6 |
n + 1 |
|
|
Multiplie-le par lui-même |
36 |
(n + 1)² = n² + 2n + 1 |
|
|
Soustrait le plus grand du plus petit |
36 – 25 = 11 |
2n + 1 |
|
|
Donne-moi le résultat. |
Je retranche 1 au résultat et je divise par 2: 11 – 1 = 10 et 10/2 = 5. Nous avons utilisé le développement du carré, une identité remarquable. |
||
c / Je devine votre âge:
c-1 / Version n°1 :
1/ Choisissez un nombre d’un chiffre, et gardez-le secret.
2/ Multipliez-le par 9.
3/ A ce résultat, enlevez 10 fois votre âge.
4/ Donnez-moi ce dernier résultat, et je vous donne votre âge.
Réponse :
Nombre choisit : y
Age à 2 chiffres : bc → 10b + c
9y – 10( 10b + c) = 9y – 100b – 10c
. = -1( 100b + 10c – 9y)= -1( 100b + 10c – 10y + y)
. = -1( 100b + 10(c – y) + y)
. ↑ ↑ ↑
. 100aines 10aines Unités
Le nombre donné à la 4éme étape, est un nombre négatif de 3 chiffres. Par exemples EFG :
E = b (10aines de l’âge)
G = y ( Le nombre choisit )
F = c – y → c = F + y ( Unités de l’âge )
Exemple : y = 5 et l’âge est de 37 ans.
9 x 5 – 37 x 10 = - 325 → 3 = b (10aines de l’âge)
. 5 = y ( Le nombre choisit )
. 7 = 2 + 5 ( Unités de l’âge )
c-2 / Version n°2 :
Prenez votre jour de naissance et multiplier le par 12.
Prenez votre mois de naissance et multiplier le par 37.
Ajoutez ces deux produits.
Soit
j le jour de naissance
m le mois de naissance.
Appelons z le résultat obtenu.
Le reste de la division de z par 12 nous donne donc le nombre m.
m étant connu, il suffit alors d'effectuer la division de z - 37 m par 12 pour obtenir le jour j .
z = 12 j + 37 m
j = ( z - 37m ) / 12
Cours sur la division Euclidienne et le modulo :
La division euclidien de a par b donne : a = b × q + r
a est congru à r modulo b ou a ≡ r mod (b)
exemple :
43 est congru à 1 modulo 7 car 43 = 7 x 6 + 1.
Le reste de la division euclidienne de 43 par 7 est 1.
On écrit : 43 ≡ 1 mod(7).
L'astuce pour faciliter le calcul réside ici dans le choix du nombre 37 dont le reste dans la division par 12 est 1.
Soit
j le jour de naissance
m le mois de naissance.
Appelons z le résultat obtenu.
Nous avons donc : z = 12 j + 37 m
z = 12 j + 37 m
z = ( 12 j + 0 ) + ( 3 x 12 + 1 ) m
z = 12 x ( j + 3m ) + m
z ≡ m mod(12)
Donc le reste de z dans la division par 12 est celui de m.
Or, comme le montre le tableau ci-dessous, pour tous les mois entre 1 et 11, m est égal au reste dans la division par 12.
Quant à 12 (décembre) son reste est 0 et m est égal à 0.
|
Mois |
Numéro du mois m |
Reste de m/12 |
|
Janvier |
1 = 12 × 0 + 1 |
1 |
|
Février |
2 = 12 × 0 + 2 |
2 |
|
Mars |
3 = 12 × 0 + 3 |
3 |
|
Avril |
4 = 12 × 0 + 4 |
4 |
|
Mai |
5 = 12 × 0 + 5 |
5 |
|
Juin |
6 = 12 × 0 + 6 |
6 |
|
Juillet |
7 = 12 × 0 + 7 |
7 |
|
Aout |
8 = 12 × 0 + 8 |
8 |
|
Septembre |
9 = 12 × 0 + 9 |
9 |
|
Octobre |
10 = 12 × 0 + 10 |
10 |
|
Novembre |
11 = 12 × 0 + 11 |
11 |
|
Décembre |
12 |
0 |
|
|
|
|
|
37 |
37 = 12 x 3 + 1 |
1 |
Le reste de la division de z par 12 nous donne donc le nombre m.
m étant connu, il suffit alors d'effectuer la division de z - 37 m par 12 pour obtenir le jour j .
z = 12 j + 37 m
j = ( z - 37m ) / 12
Exemple : Jour de naissance : 21 Mars
Multiplier le jour de naissance par 12 : 21 x 12 = 252
Multiplier le n° du mois de naissance par 37 : 37 x 3 = 111
Somme des 2 produits : 252 + 111 = 363
363 = 12 x 30 + 3 : donc le reste est 3 et il correspond au mois de Mars.
363 - 37 x 3 = 363 – 111 = 252
252 / 12 = 21 : donc le jour est le 21.
d / Je devine votre mois de naissance et votre âge:
|
Deviner le mois de naissance et l’âge : |
|
|
Question |
Exemple |
|
Prenez le mois de votre |
6 |
|
Multipliez par 2 |
12 |
|
Ajoutez 5 |
17 |
|
Multipliez par 50 |
850 |
|
Ajoutez 1 761 |
2 603 |
|
Retranchez votre année |
640 |
|
Donnez-moi le résultat trouvé |
|
|
Réponse |
|
|
Vous êtes né en |
6 = JUIN |
|
Cette année tu feras |
40 ans |
|
Explications : |
|
|
Formalisation |
|
|
Vous êtes né au mois |
x |
|
Votre année de naissance |
A |
|
Votre âge en 2011 |
a = 2011 – A |
|
Calcul |
|
|
Prenez le mois de votre naissance |
x |
|
Multipliez par 2 |
2x |
|
Ajoutez 5 |
2x + 5 |
|
Multipliez par 50 |
100x + 250 |
|
Ajoutez 1761 |
100x + 2011 |
|
Retranchez votre année de naissance: |
100x + 2011 – (2011 - a) |
|
Donnez-moi le résultat trouvé |
100x + a |
|
Commentaire Magie! eh, bien non. Petit tour de passe-passe basée sur l'année 2011 déguisée et une multiplication par 100 qui isole le mois de naissance. Vous pouvez inventer de nombreux tours comme cela. Année actuelle - 250 = 2011-250 = 1761 |
X= Le mois de naissance a = l’âge que tu feras cette année ( -1 si l’anniversaire est passé : on est avant le mois x). |
e / Je devine votre chiffre:
1/ Choisissez un chiffre (entre 0 et 9 !!!), et gardez-le secret.
2/ Multipliez-le par 8 547.
3/ Multipliez le résultat par 13.
4/ Donnez-moi ce dernier résultat, et je vous donne le chiffre du début.
Réponse :
Chiffre choisit : y
y x 8 547 x 13 = y x 111 111 = yyy yyy
f / Je devine votre nombre :
|
Trouver le nombre |
Exemple |
|
Choisir un nombre N entre 1 et 100 |
79 |
|
Divisez N par 3, par 5 puis par 7 |
|
|
Donnez-moi le reste à chaque fois: R3, R5, R7 |
R3 = 1 R7 = 2 R5 = 4 |
|
Le nombre de départ était : |
1 x 70 + 4 x 21 + 2 x 15 = 184 184 – 105 = 79 |
|
Explications : |
Exemple |
|
Choisir un nombre N entre 1 et 100 |
N |
|
Divisez N par 3, par 5 puis par 7 |
|
|
Donnez-moi le reste à chaque fois: R3, R5, R7 |
R3 = 1 R7 = 2 R5 = 4 |
|
Le nombre de départ était : |
1 x 70 + 4 x 21 + 2 x 15 = 184 184 – 105 = 79 |
g/ Fibonacci-Zeckendorf :
Il s'agit d'une variante à la Fibonacci-Zeckendorf d'un tour qui utilise habituellement l'écriture binaire du nombre à deviner.
Commencez par imprimer la page au format pdf où sont représentées les cartes.
Vous pouvez ensuite découper ou non les dix cartes contenant des nombres de 1 à 100.
(Cartes dans le fichier : fibonacci.pdf).
Un nombre à deviner
Le tour est très simple : vous allez devoir deviner un nombre entier.
Demandez à une personne de l'assistance de penser à un nombre entier entre 1 et 100, sans vous donner la valeur de ce nombre.
Présentez à cette personne, successivement, les cartes en lui demandant de vous indiquer celles où figure le nombre.
Solution
Additionnez les premières valeurs des cartes sélectionnées, vous retrouverez le nombre choisi.
Exemple : Le nombre 100 se trouve sur trois cartes. En haut et à gauche de ces cartes sont inscrits 3, 8 et 89 dont la somme est justement : 100 = 3 + 8 + 89 = F 4 + F6 + F11.
Explication : Le système de numération utilisé est la représentation de Zeckendorf des nombres entiers positifs. Ceux-ci s'écrivent de manière unique comme sommes de nombres de Fibonacci Fi (dont les rangs i>1 diffèrent entre eux d'au moins deux unités).
Pour obtenir la décomposition d'un naturel, soustrayez successivement les plus grands nombres de Fibonacci possibles.
Variantes du jeu
Suite de Lucas
Une variante utilise les nombres de la suite de Lucas.
(Cartes dans le fichier : lucas.pdf).
Jeu classique
Les cartes utilisées généralement pour ce jeu sont basées sur l'écriture binaire du nombre entier.
(Cartes dans le fichier : binaire.pdf).
h/ La somme impossible :
Demander à quelqu’un de choisir un nombre de 5 chiffres.
Noter sur un papier ce même nombre de 5 chiffres auquel on ajoutera 2 devant (cad 20 000) et on enlèvera 2 au chiffre des unités. Cacher ce nombre ce sera la somme finale !!
Lui demander d’en noter un autre au-dessus et au-dessous.
A vous de noter à présent 2 nouveaux nombres de 5 chiffres au-dessus et au-dessous des 3 autres.
On obtient :
Nombre A Le votre
Nombre B Ceux rajouté par le cobaye
Nombre C Celui de départ de votre cobaye
Nombre D Ceux rajouté par le cobaye
Nombre E Le votre
Faire la somme des 5 nombres de 5 chiffres. Une belle addition que l’on peut deviner sans problème grâce à l’astuce suivante. Les 2 nombres A et E que vous allez ajouter, doivent être tel que A+B = D+E = 9 999 (simple a faire puisqu’il suffit que la somme de chaque classe de nombre fasse 9).
La somme obtenue sera le nombre C de départ auquel on aura ajouté 2 devant (cad 20 000) et enlever 2 au chiffre des unités.
Exemple :
06 875
+93 124
+13 456
+87 601
+12 398
_______
213 454
Explication :
fg hij j+u = i+y = ….. = h+m = g+n = 9
+zr tyu Donc : A+B = D+E = 9 + 90 + 900 + 9 000 + 90 000
+ab cde = 99 9999
+pq sgh
+wx vnm
________
2ab cd(e-2)
Et ainsi la somme devient :
10 000a + 1 000b + 100c + 10d + e + 2×99 999 = 200 000 + 10 000a + 1 000b + 100c + 10d + e -2
et en effet 199 998 = 200 000 – 2
i/ Je retrouve votre symbole :
Pensez à un nombre comportant deux chiffres. Soustrayez de ce nombre chacun des deux chiffres qui le composent. Enfin, retrouvez le symbole qui correspond au résultat obtenu dans le tableau ci-dessous.
Le symbole correspondant à votre nombre est : $
Explication :
Pensez à un nombre comportant deux chiffres ab
Soustrayez de ce nombre chacun des deux chiffres qui le composent 10a + b – a – b = 9a
Enfin, retrouvez le symbole qui correspond au résultat obtenu dans le tableau ci-dessous ce sera un multiple de 9. Or ces nombres correspondent tous au symbole $. Donc, quoi qu'il arrive, on tombera toujours sur le symbole $ !
j/ L’addition fantastique :
Tu vas écrire sur une feuille deux nombres (de 9 chiffres au maximum), l'un en dessous de l'autre.
Ajoute-les. Ecris la somme obtenue sous les deux premiers nombres.
Recommence avec les deux derniers nombres et place cette somme sous les autres.
Continue ainsi jusqu'à obtenir une liste de 10 nombres écrits les uns en dessous des autres.
Je te propose un exemple en commençant avec les deux nombres 7 et 5.
7 5 12 17 29 46 75 121 196 317
Maintenant si tu me donnes seulement le 4ème nombre en partant de la fin (sur l'exemple c'est 75) je vais te donner immédiatement la somme de tes 10 nombres inscrits.
Explications : Il suffit de multiplier le 7ième nombre par 11 : 75 11 = 825
Regardons le cas général pour bien comprendre ce résultat.
Si l'on part de deux nombres quelconques a et b, nous obtenons :
| a b a + b a + 2b 2a+ 3b 3a + 5b 5a + 8b 8a + 13b 13a + 21b 21a + 34b |
La somme des 10 nombres est 55a + 88b et on a bien 11(5a + 8b) = 55a + 88b
k/ Les 2 chiffres devinés :
Demandez à un spectateur (il peut prendre une calculette) :
- de choisir deux chiffres entre 1 et 9. (le premier peut-être quelconque.)
- de multiplier le premier par 20.
- d'ajouter le deuxième au résultat.
- d'ajouter encore 2.
- de multiplier le tout par 5.
- de retrancher 4 fois le deuxième nombre.
- et d'annoncer son résultat.
Annoncez- lui en 2 secondes les deux chiffres choisis !!!
Explications : Le résultat trouvé sera de la forme a1b, donc les deux chiffres choisis sont a et b.
Exemple : pour un résultat 418, les deux chiffres choisis sont 4 et 8.
Les deux chiffres choisis sont a et b.
En multipliant par 20 le premier, on obtient 20a.
En ajoutant le deuxième au résultat, cela fait 20a + b.
En ajoutant encore 2, cela devient 20a + b + 2.
En multipliant le tout par 5, on obtient 5(20a + b + 2).
Puis, en retranchant 4 fois le deuxième nombre, cela fait 5(20a + b + 2) – 4b = 5(20a + b + 2) – 4b
. = 100a + 5b + 10 – 4b
. = 100a + 10 + b.
Le résultat trouvé est de la forme a1b.
l/ La somme impossible bis :
Ecrivez sur un papier un nombre entre 40 000 et 49 995, pliez-le et donnez-le à un spectateur pour qu'il le mette dans sa poche.
Sur une feuille, écrivez un nombre entier de 4 chiffres.
Demandez au spectateur d'écrire en dessous un autre nombre de 4 chiffres.
Ecrivez un troisième nombre de 4 chiffres en dessous.
Demandez au spectateur d'en écrire un quatrième toujours en dessous.
Continuez ainsi de suite jusqu'au neuvième.
Demandez alors au spectateur de faire avec une calculette le total des neuf nombres et de constater que c'est celui qui est dans sa poche !!!
Explications : Si vous voulez prédire 47 988, écrivez en premier 7 988 + 4 = 7 992.
Sous les nombres du spectateur choisi, écrivez à chaque fois le complément à 9999 (exemple : pour 3124, écrivez 6875).
L'explication est simple :
Le total sera bien 7 988 + 4 + 4 × 9 999 = 7 988 + 4 + 39 996 = 7 988 + 40 000 = 47 988.
. 8°/ Les résultats surprises : (cf. ² La magie du calcul ² page 10 Les Editions du Kangourou )
a / Le résultat est 222 :
1/ Choisissez 3 chiffres distincts.
2/ Calculez leur somme s.
3/ En permutant ces 3 chiffres, formez les 6 nombres possibles inférieurs à 1 000.
4/ Calculez la somme S de ces 6 nombres.
5/ Démontrez que le quotient de S par s est toujours de 222.
Réponse :
Nombre de 3 chiffres choisit : abc
s = a + b + c
Permutations : abc, acb, bac, bca, cab, cba.
S = 100a + 10b + c + 100a + 10c + b + 100b + 10a + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b + 100c +10b + a
S = 222a + 222 b + 222c
S = 222( a + b +c)
Donc : S/s = 222
b / Le résultat est la somme des 3 chiffres du nombre :
1/ Choisissez un nombre entre 100 et 999.
2/ Appelez S la somme de ces 3 chiffres et d le chiffres des dizaines.
3/ Renversez le nombre de départ ( 135 devenant 531 par exemple).
4/ Au nombre ainsi obtenu, ajouter le nombre de départ.
5/ Au résultat, enlever de double de S.
6/ Divisez le résultat par 9.
7/ Au résultat, enlever de double de S.
8/ Divisez le résultat par 9.
9/ Ajoutez le nombre d au quotient.
10/ Démontrez que le résultat final sera toujours égal à S.
Réponse :
1/ Choisissez un nombre entre 100 et 999 : abc
2/ Appelez S la somme de ces 3 chiffres et d le chiffres des dizaines : S = a + b + c et d = b
3/ Renversez le nombre de départ ( 135 devenant 531 par exemple) : cba
4/ Au nombre ainsi obtenu, ajouter le nombre de départ : 100a + 10b + c + 100c + 10b + a =
= 101a + 20b + 101c
5/ Au résultat, enlever de double de S : 101a + 20b + 101c – 2(a + b + c) = 99a + 18b + 99c
6/ Divisez le résultat par 9 : (99a + 18b + 99c)/9 = 11a + 2b + 11c
7/ Au résultat, enlever de double de S : 11a + 2b + 11c– 2(a + b + c) = 9a + 9c
8/ Divisez le résultat par 9 : (9a + 9c)/9 = a + c
9/ Ajoutez le nombre d au quotient : a + c + b = S
c / Un multiple de 9 :
1/ Choisissez un nombre entier de 3 ou 4 chiffres.
2/ A l’aide de ces chiffres, formez un autre nombre différent du premier
3/ Calculer la différence de ces deux nombres.
4/ Pourquoi le résultat obtenu, est un multiple de 9.
Réponse :
Nombre de 3 chiffres choisit : abc
Autre nombre : bac
Différence = 100a + 10b + c – ( 100b + 10a + c) = 90a – 90b
En fait, aux milliers par exemple, on enlève 100, 10 ou 1 pour obtenir 900, 990 ou 999, cad des multiples de 9. Ceci est valable pour 100, 10 et 1, même si on obtient des résultats négatifs.
d / Algorithme de Kaprekar :
Choisissez un nombre composé de 4 chiffres tous différents les uns des autres.
Réordonnez ses chiffres dans l'ordre décroissant de la gauche vers la droite.
Retournez le résultat.
Calculez la différence de ces deux derniers nombres.
On obtient un nouveau nombre de 4 chiffres que l'on soumet à son tour au traitement précédent.
Continuez jusqu'à l'inutilité de nouveaux calculs.
Considérez toujours vos résultats comme ayant 4 chiffres avec éventuellement un zéro à gauche.
On arrive toujours à 6174 et ce en 7 soustractions au maximum. Cet algorithme porte le nom d'Algorithme de Kaprekar.
Cette propriété est une excellente occasion pour les parents ou les maîtres de faire faire des soustractions aux enfants qui n'en croient pas leur résultat quel que soit le nombre de départ.
Je prends par exemple 8541 :
8541 - 1458 = 7083
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
Sur une feuille quadrillée, deux joueurs, à tour de rôle, trace un côté d’un carré. Si un joueur, en plaçant son trait, forme un carré complet, il marque un point et rejoue. Le vainqueur sera soit celui qui a le plus de points, soit celui qui termine la grille.
. 10°/ Le casse-tête des pentominos :
Le principe est très simple. Vous disposez des pièces suivantes :
Vous devez toutes les faire entrer dans les carrés qui suivent, un peu à la manière de pièces d'un puzzle (les cases centrales doivent rester libres).
Un jeu de domino à trois bandes pour réviser les opérations sur les nombres relatifs.
Vous avez 48 pièces. Vous les partager de façon équitable entre tous les participants et vous laisser une pioche d’une dizaine de triomino.
Le plus jeune commence et dépose un triomino sur la table.
Le joueur de droite essaye de poser un de ces triominos de façon à ce que les opérations soient justes. S’il n’a pas de triomino possible, il pioche et passe son tour.
Le gagnant est celui qui n’a plus de triomino.
Lien pour télécharger les jeux : - Triomino - Addition
